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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:28 Di 07.11.2006 | | Autor: | xsara |
| Aufgabe | In den folgenden Beispielen für Funktionen f und g gebe man jeweils den größtmöglichen Definitionsbereich [mm] D_{f \circ g} [/mm] der Komposition f [mm] \circ [/mm] g und den größtmöglichen Definitionsbereich [mm] D_{g \circ f} [/mm] der Komposition g [mm] \circ [/mm] f (jeweils als Teilmenge von [mm] \IR) [/mm] an:
(1) [mm] f(x):=x^2+3x+\pi, [/mm] g(x):=sinx
(2) [mm] f(x):=e^x, g(x):=\wurzel{x}
[/mm]
(3) [mm] f(x):=\bruch{2x^2-7}{x^4-1}, g(x):=\bruch{x}{x+1}
[/mm]
Auf [mm] D:=D_{f \circ g} \cap D_{g \circ f} [/mm] ist dann sowohl f [mm] \circ [/mm] g als auch g [mm] \circ [/mm] f eine wohldefinierte Funktion. Man gebe in jedem der obigen Beispiele die Menge D an und entscheide jeweils, ob auf D f [mm] \circ [/mm] g = g [mm] \circ [/mm] f gilt (Beweis oder Gegenbeispiel). |
Ich weiß, dass die Komposition die Hintereinanderausführung von zwei Funktionen oder Abbildungen ist, kann es mir aber nicht richtig vorstellen. Vielleicht gibt es ein einfaches Beispiel, was mir den Sachverhalt verständlich machen kann.
Meine bisherigen Überlegungen sind:
(1) Der Definitionsbereich von f bzw. g ist [mm] \IR. [/mm] Also müsste doch der Definitionsbereich von [mm] D_{f \circ g} [/mm] bzw. [mm] D_{g \circ f} [/mm] ebenfalls [mm] \IR [/mm] sein.
(2) [mm] D_{f}=\IR, D_{g}=\IR^+ [/mm] also [mm] D_{f \circ g} [/mm] = [mm] D_{g \circ f}= \IR^+
[/mm]
(3) [mm] D_{f}=\IR \setminus [/mm] {-1,1}, [mm] D_{g}=\IR \setminus [/mm] {1} also [mm] D_{f \circ g} [/mm] = [mm] D_{g \circ f}= \IR \setminus [/mm] {-1,1} .
Wie man allerdings beweist, dass auf D f [mm] \circ [/mm] g = g [mm] \circ [/mm] f gilt, ist mir nicht klar.
Vielen Dank!
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Hi, xsara,
> In den folgenden Beispielen für Funktionen f und g gebe man
> jeweils den größtmöglichen Definitionsbereich [mm]D_{f \circ g}[/mm]
> der Komposition f [mm]\circ[/mm] g und den größtmöglichen
> Definitionsbereich [mm]D_{g \circ f}[/mm] der Komposition g [mm]\circ[/mm] f
> (jeweils als Teilmenge von [mm]\IR)[/mm] an:
> (1) [mm]f(x):=x^2+3x+\pi,[/mm] g(x):=sinx
> (2) [mm]f(x):=e^x, g(x):=\wurzel{x}[/mm]
> (3) [mm]f(x):=\bruch{2x^2-7}{x^4-1}, g(x):=\bruch{x}{x+1}[/mm]
>
> Auf [mm]D:=D_{f \circ g} \cap D_{g \circ f}[/mm] ist dann sowohl f
> [mm]\circ[/mm] g als auch g [mm]\circ[/mm] f eine wohldefinierte Funktion.
> Man gebe in jedem der obigen Beispiele die Menge D an und
> entscheide jeweils, ob auf D f [mm]\circ[/mm] g = g [mm]\circ[/mm] f gilt
> (Beweis oder Gegenbeispiel).
> Ich weiß, dass die Komposition die
> Hintereinanderausführung von zwei Funktionen oder
> Abbildungen ist, kann es mir aber nicht richtig vorstellen.
> Vielleicht gibt es ein einfaches Beispiel, was mir den
> Sachverhalt verständlich machen kann.
Klar: f(x) = [mm] x^{2}, [/mm] g(x) = x-1.
Dann ist f [mm] \circ [/mm] g(x) = f(g(x)) = [mm] (x-1)^{2} [/mm]
und g [mm] \circ [/mm] f(x) = g(f(x)) = [mm] x^{2}-1
[/mm]
> Meine bisherigen Überlegungen sind:
> (1) Der Definitionsbereich von f bzw. g ist [mm]\IR.[/mm] Also
> müsste doch der Definitionsbereich von [mm]D_{f \circ g}[/mm] bzw.
> [mm]D_{g \circ f}[/mm] ebenfalls [mm]\IR[/mm] sein.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> (2) [mm] D_{f}=\IR, D_{g}=\IR^+
[/mm]
Da hast Du schon mal die 0 vergessen! [mm] D_{g} [/mm] = [mm] \IR^{+} \cup \{0\}
[/mm]
> also [mm] D_{f \circ g} [/mm] = [mm] D_{g \circ f}= \IR^+
[/mm]
Nein! Bei [mm] D_{f \circ g} [/mm] hast Du noch Recht (vergiss' aber die 0 nicht!),
[mm] D_{g \circ f} [/mm] aber ist [mm] \IR, [/mm] denn: g(f(x))= [mm] \wurzel{e^{x}} [/mm] und [mm] e^{x} [/mm] ist ja überall positiv!
> (3) [mm] D_{f}=\IR \setminus [/mm] {-1,1}, [mm] D_{g}=\IR \setminus [/mm] {1}
Korrektur: [mm] D_{g}=\IR \setminus \{\red{-}1\} [/mm]
> also [mm] D_{f \circ g} [/mm] = [mm] D_{g \circ f}= \IR \setminus [/mm] {-1,1} .
Das musst Du Dir auch noch mal überlegen!
> Wie man allerdings beweist, dass auf D f [mm]\circ[/mm] g = g [mm]\circ[/mm] f gilt, ist mir nicht klar.
Du musst die beiden Funktionsterme f [mm] \circ [/mm] g(x) ung g [mm] \circ [/mm] f(x) einfach mal hinschreiben - dann siehst Du schon, ob's jeweils diselbe Funktion ist!
Meist wird's NICHT der Fall sein!
mfG!
Zwerglein
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