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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:10 Do 29.12.2011 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | Wie beweise ich, das gilt:
[mm] \phi^{-1} \circ\ \delta^{-1} [/mm] = [mm] (\delta \circ\ \phi )^{-1} [/mm] |
Lg,
Lu-
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Hallo Lu-,
> Wie beweise ich, das gilt:
>
> [mm]\phi^{-1} \circ\ \delta^{-1}[/mm] = [mm](\phi \circ\ \delta)^{-1}[/mm]
bitte poste beim nächsten Mal deine Ansätze.
Wenn Du zu einer Funktion f überprüfen willst, ob g die zugehörige Umkehrfunktion ist, kannst Du folgendes nachrechnen.
[mm] $f\circ g=Id,\qquad g\circ [/mm] f=Id$.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:20 Do 29.12.2011 | | Autor: | Lu- |
$ [mm] \phi^{-1} \circ\ \delta^{-1} [/mm] $ =Id
ZZ $ [mm] (\phi \circ\ \delta)^{-1} [/mm] $=Id
Hallo, meinst du so?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:43 Do 29.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\phi^{-1} \circ\ \delta^{-1}[/mm] =Id
> ZZ [mm](\phi \circ\ \delta)^{-1} [/mm]=Id
>
> Hallo, meinst du so?
erstmal: korrigiere die Aufgabenstellung - Deine Behauptung ist falsch. Nehmen wir mal $f: M [mm] \to [/mm] N$ und $g: N [mm] \to [/mm] P$ und $g [mm] \circ [/mm] f: M [mm] \to P\,.$
[/mm]
Dann ist [mm] $g^{-1}: [/mm] P [mm] \to [/mm] N$ und [mm] $f^{-1}: [/mm] N [mm] \to [/mm] M$ und [mm] $f^{-1} \circ g^{-1}: [/mm] P [mm] \to [/mm] M$ und es gelten
[mm] $$(1.)\;\;f \circ f^{-1}=id_N\,,$$
[/mm]
[mm] $$(2.)\;\;g \circ g^{-1}=id_P\,,$$
[/mm]
[mm] $$(3.)\;\;f^{-1} \circ f=id_M\,,$$
[/mm]
[mm] $$(4.)\;\;g^{-1} \circ g=id_N\,.$$
[/mm]
Die erste und dritte der letzten Gleichungen zeigen, dass [mm] $f\,$ [/mm] und [mm] $f^{-1}$ [/mm] Umkehrfunktionen zueinander sind, analoges gilt für [mm] $g\,$ [/mm] und [mm] $g^{-1}$ [/mm] wegen der zweiten und vierten Gleichung.
Nun zeige:
[mm] $$(I)\;\;(g \circ [/mm] f) [mm] \circ (f^{-1} \circ g^{-1})=id_{P}\,,$$
[/mm]
und
[mm] $$(II)\;\; (f^{-1} \circ g^{-1}) \circ [/mm] (g [mm] \circ f)=id_{M}\,.$$
[/mm]
(Dabei ist [mm] $id_{X}:X \to [/mm] X$ mit $X [mm] \ni [/mm] x [mm] \mapsto id_{X}(x)=x \in X\,.$)
[/mm]
Dann bist Du fertig.
Zu [mm] $(I)\,$:
[/mm]
Es gilt
$$(g [mm] \circ [/mm] f) [mm] \circ (f^{-1} \circ g^{-1})=g \circ [/mm] (f [mm] \circ (f^{-1} \circ g^{-1}))=g \circ [/mm] ((f [mm] \circ f^{-1}) \circ g^{-1})=g \circ (id_N \circ g^{-1})=g \circ g^{-1}=id_P$$
[/mm]
unter Beachtung von [mm] $(1.)\,$ [/mm] und [mm] $(2.)\,.$ [/mm] Bei dem vorletzten Gleichheitszeichen ist ferner zu beachten, dass
[mm] $$id_N\circ g^{-1}=g^{-1}$$
[/mm]
gilt, denn:
Sowohl [mm] $id_N \circ g^{-1}$ [/mm] als auch [mm] $g^{-1}$ [/mm] ist eine Abbildung $P [mm] \to [/mm] N$ und für alle $p [mm] \in [/mm] P$ gilt
[mm] $$(id_N \circ g^{-1})(p)=id_N(g^{-1}(p))=g^{-1}(p)\,,$$
[/mm]
wobei sich das erste [mm] $=\,$-Zeichen [/mm] per Definitionem der Verknüpfung/Nacheinanderschaltung von Funktionen ergibt, und das zweite aus der Definition der Abbildung [mm] $id_N\,.$ [/mm] (Beachte: [mm] $g^{-1}(p) \in N\,.$)
[/mm]
Nun beweise noch [mm] $(II)\,$ [/mm] mit analogen Argumenten! Und meinetwegen schreibe anstatt [mm] $f\,$ [/mm] und [mm] $g\,$ [/mm] halt Deine Funktionsnamen und die in der Aufgabe zugehörigen Namen für die Definitions- bzw. Zielbereiche der Funktionen.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:26 Do 29.12.2011 | | Autor: | Lu- |
Vielen Dank für deine Antwort.
Mir ist jedoch unklar, diese Umformung:
> $ (g [mm] \circ [/mm] f) [mm] \circ (f^{-1} \circ g^{-1})=g \circ [/mm] (f [mm] \circ (f^{-1} \circ g^{-1}))
[/mm]
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:10 Fr 30.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank für deine Antwort.
> Mir ist jedoch unklar, diese Umformung:
>
> > [mm] (g \circ f) \circ (f^{-1} \circ g^{-1})=g \circ(f \circ (f^{-1} \circ g^{-1}))[/mm]
dort wird nichts anderes als das Assoziativgesetz bzgl. der Verknüpfung [mm] $\circ$ [/mm] benutzt. Du kannst es Dir so ein wenig deutlicher machen:
Setze [mm] $h:=f^{-1} \circ g^{-1}\,.$ [/mm] Dann gilt
$$(g [mm] \circ [/mm] f) [mm] \circ (f^{-1} \circ g^{-1})=(g \circ [/mm] f) [mm] \circ [/mm] h=g [mm] \circ [/mm] (f [mm] \circ [/mm] h)=g [mm] \circ [/mm] (f [mm] \circ (f^{-1} \circ g^{-1}))\,.$$
[/mm]
Beim ersten und beim letzten Gleichheitszeichen wird nur die Definition von [mm] $h\,$ [/mm] benutzt, das zweite Gleichheitszeichen ist gerade die oben erwähnte Assoziativität.
(Beachte: Die "Klammerung" besagt ja nur, in welcher Reihenfolge eine Operation durchgeführt wird. Bei der Addition kennst Du das:
[mm] $(1+2)+7\,$ [/mm] ist das gleiche wie [mm] $1+(2+7)\,.$ [/mm] Rechnerisch ist das vorgehen aber erstmal anders: $(1+2)+7$ führt auf [mm] $3+7\,,$ [/mm] während [mm] $1+(2+7)\,$ [/mm] auf [mm] $1+9\,$ [/mm] führt. Das Ergebnis ist natürlcih in beiden Fällen das gleiche, nämlich [mm] $10\,.$
[/mm]
Was Du da allgemeiner in der Form
$$a+(b+c)=(a+b)+c$$
kennst, kannst Du hier genauso benutzen, nur dass anstelle der Zahlen [mm] $a,b,c\,$ [/mm] nun Funktionen [mm] $f,g,h\,$ [/mm] stehen, und anstelle des [mm] $+\,$ [/mm] hier [mm] $\circ$ [/mm] steht:
$$f [mm] \circ [/mm] (g [mm] \circ [/mm] h)=(f [mm] \circ [/mm] g) [mm] \circ h\,.$$
[/mm]
Beachten sollte man hierbei nur, dass die Verknüpfung zweier Funktionen [mm] $f\,$ [/mm] und [mm] $g\,,$ [/mm] also etwa $g [mm] \circ f\,,$ [/mm] nur dann definiert ist, wenn das Bild von [mm] $f\,,$ [/mm] also [mm] $f(M)=\{f(m): m \in M\}\,,$ [/mm] eine Teilmenge des Definitionsbereichs von [mm] $g\,$ [/mm] ist. Oben habe ich das einfach erzwungen, indem ich den Zielbereich von [mm] $f\,$ [/mm] als Definitionsbereich von [mm] $g\,$ [/mm] gewählt habe. Und bei den Aussagen hier kann man das auch ohne Einschränkung annehmen:
Ist nämlich etwa $f: M [mm] \to [/mm] N$ und $g: [mm] \tilde{N} \to [/mm] P$ mit (ZV) $N [mm] \subseteq \tilde{N}$ [/mm] (insbesondere gilt hier $f(M) [mm] \subseteq \tilde{N}$), [/mm] so betrachte $g [mm] \circ [/mm] f$ und [mm] $g_{|N} \circ f\,.$ [/mm] Beides sind Abbildungen $M [mm] \to P\,,$ [/mm] und es gilt für alle $m [mm] \in [/mm] M$
$$(g [mm] \circ f)(m)=g(\underbrace{f(m)}_{\in f(M) \subseteq N})=g_{|N}(f(m))=(g_{|N} \circ f)(m)\,.$$
[/mm]
Also $g [mm] \circ f=g_{|N} \circ f\,.$ [/mm] Erinnerung: Dabei ist [mm] $g_{|N}$ [/mm] die Einschränkung von [mm] $g\,$ [/mm] auf [mm] $N\,,$ [/mm] also [mm] $g_{|N}:\underbrace{\overbrace{N}^{\supseteq f(M)}}_{\subseteq \tilde{N}} \to [/mm] P$ mit [mm] $g_{|N}(n)=g(n)$ [/mm] für alle $n [mm] \in N\,.$)
[/mm]
Du siehst sogar: Man könnte bei diesen Verknüpfungen auch zudem o.E. annehmen, dass die innere Funktion (hier [mm] $f\,$) [/mm] surjektiv ist:
Denn
$$g [mm] \circ [/mm] f: M [mm] \to [/mm] P$$
ist die gleiche Funktion wie
[mm] $$g_{|f(M)} \circ [/mm] f: M [mm] \to P\,.$$
[/mm]
Und bei dieser Wahl haben wir auch die "obenstehende Zusatzvoraussetzung (ZV)" $N [mm] \subseteq \tilde{N}$ [/mm] automatisch erfüllt. Daher reicht es i.a., wenn man eine Verknüpfung zweier Funktionen [mm] $f\,$ [/mm] und [mm] $g\,$ [/mm] - im Zeichen $g [mm] \circ [/mm] f: M [mm] \to [/mm] P$ - betrachtet, anzunehmen, dass der Zielbereich von [mm] $f\,$ [/mm] mit dem Definitionsbereich von [mm] $g\,$ [/mm] übereinstimmt.
Zusammenfassend:
Haben wir irgendzwei Abbildungen $f: M [mm] \to [/mm] R$ und $g: [mm] \tilde{R} \to [/mm] P$ mit $f(M) [mm] \subseteq \tilde{R}$ [/mm] gegeben (hier muss NICHT $R [mm] \subseteq \tilde{R}$ [/mm] gelten!), so können wir eine Menge [mm] $N\,$ [/mm] wählen mit der Eigenschaft:
$$f(M) [mm] \subseteq [/mm] N [mm] \subseteq \tilde{R}\,.$$
[/mm]
(Denn offenbar hat schon $f(M)=:N$ diese Eigenschaft.)
Dann gilt $g [mm] \circ f=g_{|N} \circ f_1\,,$
[/mm]
wobei wir [mm] $f_1: [/mm] M [mm] \to [/mm] N$ mit [mm] $f_1(m):=f(m)$ [/mm] für alle $m [mm] \in [/mm] M$ setzen.
Beispiel:
[mm] $f(x)=x^2$ [/mm] als Abbildung $[-2,2] [mm] \to \IR$ [/mm] und [mm] $g(x):=\sqrt{x}$ [/mm] als Abbildung $[0,10] [mm] \to [-20,20]\,.$
[/mm]
Dann kann ich $(g [mm] \circ f)(x)=\sqrt{x^2}=|x|$ [/mm] als Abbildung $[-2,2] [mm] \to [/mm] [-20,20]$ auch als Verknüpfung der Abbildungen
[mm] $$f_1: [/mm] [-2,2] [mm] \to [/mm] [0,5]$$
mit [mm] $f_1(x):=x^2$ [/mm]
und
[mm] $$g_{|[0,6]}$$
[/mm]
schreiben, da
$$g [mm] \circ f=g_{|[0,6]} \circ f_1: [/mm] [-2,2] [mm] \to [-20,20]\,.$$
[/mm]
Während bei $f: [-2,2] [mm] \to \IR$ [/mm] und $g:[0,10] [mm] \to [/mm] [-20,20]$ offenbar nicht der Zielbereich der inneren Funktion (also [mm] $f\,$), [/mm] also [mm] $\IR\,,$ [/mm] im Definitionsbereich $[0,10]$ der äußeren Funktion (also [mm] $g\,$) [/mm] enthalten ist, ist dies bei [mm] $f_1$ [/mm] und [mm] $g_{|[0,6]}$ [/mm] wegen $[0,5] [mm] \subseteq [/mm] [0,6]$ offenbar der Fall.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:16 Sa 31.12.2011 | | Autor: | Lu- |
Hei ;)
Danke, dass du dir so viel Mühe gibst und alles so toll erklärst!
Ich find immer lustig, dass so etwas mit einem Satzt im Skriptum steht und von den professor an die Tafel geschrieben wird und was dann dahinter wirklich steckt. Am Gott sei dank weiß ich es jetzt ;))
DANKE und guten Rutsch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:10 Do 29.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wie beweise ich, das gilt:
>
> [mm]\red{\phi^{-1} \circ\ \delta^{-1}}[/mm] = [mm](\phi \circ\ \delta)^{-1}[/mm]
i.a. gar nicht, weil Du höchstens zeigen solltest:
[mm] $$\blue{\delta^{-1} \circ \phi^{-1}}=(\phi \circ \delta)^{-1}\,.$$
[/mm]
"Bei der ungeklammerten Seite ist die Reihenfolge der Funktionnamen vertauscht"!
Gruß,
Marcel
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