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| Aufgabe | Für welche Wahlen $i, j [mm] \in \{1, 2, 3, 4\}$ [/mm] kann man die Komposition [mm] $f_i \circ f_j$ [/mm] bilden?
Geben Sie in diesen Fällen [mm] $f_i \circ f_j$ [/mm] explizit an.
[mm] $f_1: \IR \to \IR$
[/mm]
$x [mm] \mapsto [/mm] -x$
[mm] $f_2: \IR \to \IR^2$
[/mm]
$x [mm] \mapsto (x^4+1, x^2)$
[/mm]
[mm] $f_3: \IR^2 \to \IR$
[/mm]
$(x,y) [mm] \mapsto \bruch{x}{y^2+1}$
[/mm]
[mm] $f_4: \IR^2 \to \IR^2$
[/mm]
$(x,y) [mm] \mapsto [/mm] (x-y, y-x)$ |
Hi,
ich komme einfach an dieser Aufgabe nicht weiter :-( bzw. ich finde keinen richtigen Anfang. In der Vorlesung machen wir immer wirklich super einfache Aufgaben wie die Komposition von [mm] $f:=x^2$ [/mm] und $g:=1+x$ bilden und dann kommen solche Aufgaben...
Ich beherrsche wohl nicht die Kunst der Mathematik um dann von den einfachen Beispielaufgaben auf solche Aufgaben schließen zu können - so mir nichts dir nichts -.
Ich habe mir folgendes überlegt:
Also ich denke man kann nicht jedes mit jedem kombinieren, da:
1. Manche Funktionen nur 1 unabhängige Variabel haben und andere haben 2 unabhängige Variablen.
2. Sie unterscheiden sich auch in der "ersten/obersten" Zeile jeweils. Bei einigen "Steckt" man [mm] $\IR$ [/mm] rein und erhält z. B. [mm] $\IR^2$ [/mm] und umgekehrt und auch noch in anderen Kombinationen.
3. Ich weiß auch, dass wenn man so eine Komposition bilden möchte, dass der Wertebereich von der einen Funktion im Definitionsbereich der anderen Funktion liegen muss. Dies dürfte aber hier keine große weitere Rolle spielen, da man in alle Funktionen [mm] $\IR$-Zahlen [/mm] reinsteckt und auch wieder raus kommen. Stimmt das so?
Falls irgendwas von den 3 Dingen nicht so zutrifft oder ganz stimmt, bitte gleich korrigieren.
Ich denke, man kann nur in eine "Richtung" die Komposition bilden. Damit meine ich, dass man entweder von den Funktionen mit einer Variable nach Funktionen mit zwei Variablen verknüpfen kann oder anders herum. (Da bin ich mir jetzt nicht sicher).
Ein weiteres Problem ist, dass ich nicht mal wüsste wie ich die Komposition von z. B. [mm] f_1 \circ f_3 [/mm] oder zwischen [mm] f_3 \circ f_4 [/mm] bilden könnte. Also ich könnte es nicht mal schreiben oder mit der Hand versuchen zu rechnen! Ich habe schon im Internet nach ähnlichen Aufgaben gesehen und auch in 3 verschiedenen Mathebüchern, aber dort sind auch jeweils nur die einfachen Beispiele gegeben und von solchen Aufgaben ist da überhaupt nicht die Rede!
Ich hoffe ihr könnt mir helfen!
Danke!
Gruß Thomas
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Die Aufgabe ist bestimmt als Vorbereitung für Abbildungen zwischen verschiedenen Vektorräumen gedacht.
Du hast Recht, dass nur solche Abbildungen verkettet werden können, wo der Zielraum des einen gleich dem Ausgangsraum des anderen ist.
Im einzelnen:
[mm] f_1°f_1 [/mm] = [mm] id_\IR, [/mm] d.h. [mm] x\mapstox.
[/mm]
[mm] f_1°f_2 [/mm] geht nicht.
[mm] f_1°f_3: \IR^2\to\IR, (x,y)\mapsto\bruch{-x}{y^2+1}
[/mm]
[mm] f_1°f_4 [/mm] geht nicht.
[mm] f_2°f_1 [/mm] = [mm] f_2: \IR\to\IR^2, x\mapsto(x^4+1,x^2)
[/mm]
[mm] f_2°f_2 [/mm] geht nicht.
[mm] f_2°f_3: \IR^2\to\IR^2, (x,y)\mapsto(\bruch{x^4}{(y^2+1)^4}+1, \bruch{x^2}{(y^2+1)^2})
[/mm]
[mm] f_2°f_4 [/mm] geht nicht.
[mm] f_3°f_1 [/mm] geht nicht.
[mm] f_3°f_2 [/mm] = [mm] id_\IR: \IR\to\IR, x\mapsto\bruch{(x^4+1)}{(x^2)^2+1}=x
[/mm]
[mm] f_3°f_3 [/mm] geht nicht.
[mm] f_3°f_4: \IR^2\to\IR, x\mapsto\bruch{(x-y)}{(y-x)^2+1}
[/mm]
[mm] f_4°f_1 [/mm] geht nicht.
[mm] f_4°f_2: \IR\to\IR^2, x\mapsto((x^4+1)-x^2, x^2-(x^4+1))
[/mm]
[mm] f_4°f_3 [/mm] geht nicht.
[mm] f_4°f_4: \IR^2\to\IR^2, [/mm] (x, [mm] y)\mapsto((x-y)-(y-x),(y-x)-(x-y)) [/mm] = (2*x-2*y, -2*x+2*y)
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Hi Oliver,
danke für die Hilfe! Du hast mir ja sozusagen die ganze Aufgabe gelöst  Ich habe mir aber trozdem nicht die ganzen Ergebnisse angesehen, da ich es noch selbst probieren wollte.
Ich habe es jetzt mal nachgerechnet, ich komme meist auf das selbe wie du. Ich habe aber noch eine wichtige Frage (da sehe ich auch jetzt kein System drin) wie kommst du auf die "roten" Teile, als was man "reinsteckt" und was am Ende "raus" kommt, wie kommt man darauf??
Danke für die Hilfe!!!!
> Die Aufgabe ist bestimmt als Vorbereitung für Abbildungen
> zwischen verschiedenen Vektorräumen gedacht.
> Du hast Recht, dass nur solche Abbildungen verkettet
> werden können, wo der Zielraum des einen gleich dem
> Ausgangsraum des anderen ist.
> Im einzelnen:
> [mm]f_1°f_1[/mm] = [mm]id_\IR,[/mm] d.h. [mm]x\mapstox.[/mm]
> [mm]f_1°f_2[/mm] geht nicht.
> [mm]f_1°f_3: \red{\IR^2\to\IR}, (x,y)\mapsto\bruch{-x}{y^2+1}[/mm]
>
> [mm]f_1°f_4[/mm] geht nicht.
> [mm]f_2°f_1[/mm] = [mm]f_2: \red{\IR\to\IR^2}, x\mapsto(x^4+1,x^2)[/mm]
> [mm]f_2°f_2[/mm]
> geht nicht.
> [mm]f_2°f_3: \red{\IR^2\to\IR^2}, (x,y)\mapsto(\bruch{x^4}{(y^2+1)^4}+1, \bruch{x^2}{(y^2+1)^2})[/mm]
>
> [mm]f_2°f_4[/mm] geht nicht.
> [mm]f_3°f_1[/mm] geht nicht.
> [mm]f_3°f_2[/mm] = [mm]\red{id_\IR: \IR\to\IR}, x\mapsto\bruch{(x^4+1)}{(x^2)^2+1}=x[/mm]
>
> [mm]f_3°f_3[/mm] geht nicht.
> [mm]f_3°f_4: \red{\IR^2\to\IR}, x\mapsto\bruch{(x-y)}{(y-x)^2+1}[/mm]
>
> [mm]f_4°f_1[/mm] geht nicht.
> [mm]f_4°f_2: \red{\IR\to\IR^2}, x\mapsto((x^4+1)-x^2, x^2-(x^4+1))[/mm]
>
> [mm]f_4°f_3[/mm] geht nicht.
> [mm]f_4°f_4: \red{\IR^2\to\IR^2},[/mm] (x,
> [mm]y)\mapsto((x-y)-(y-x),(y-x)-(x-y))[/mm] = (2*x-2*y, -2*x+2*y)
>
Gruß Thomas
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Es war gegeben:
[mm] f_1: \IR\to\IR [/mm] ... und [mm] f_2: \IR\to\IR^2
[/mm]
Folglich: [mm] f_2°f_1: \IR\to\IR\to\IR^2 [/mm] oder kurz [mm] \IR\to\IR^2.
[/mm]
Übrigens Danke für die freundliche Mitteilung und die Mails.
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Hi, ich verstehe das immer leider noch nicht ganz, z. B. hier in diesem Fall verstehe ich das net :-(
$ [mm] f_2°f_3: \red{\IR^2\to\IR^2}, (x,y)\mapsto(\bruch{x^4}{(y^2+1)^4}+1, \bruch{x^2}{(y^2+1)^2}) [/mm] $
Könntest du mir das evtl. nochmal bitte erklären?
Danke!
Gruß Thomas
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> Hi, ich verstehe das immer leider noch nicht ganz, z. B.
> hier in diesem Fall verstehe ich das net :-(
> [mm]f_2°f_3: \red{\IR^2\to\IR^2}, (x,y)\mapsto(\bruch{x^4}{(y^2+1)^4}+1, \bruch{x^2}{(y^2+1)^2})[/mm]
>
> Könntest du mir das evtl. nochmal bitte erklären?
Hallo,
[mm] f_2°f_3 [/mm] bedeutet ja, daß zuerst [mm] f_3 [/mm] angewendet wird, und auf das Ergebnis dann [mm] f_2.
[/mm]
[mm] f_3 [/mm] geht von [mm] \IR^2 [/mm] nach [mm] \IR, [/mm] macht also aus einem Zahlenpaar eine reelle Zahl.
Auf diese Zahl wird dann [mm] f_2 [/mm] angewendet. [mm] f_2 [/mm] macht aus Zahlen Zahlenpaare.
Insgesamt betrachtet wird also ein Zahlenpaar in ein anderes Zahlenpaar umgewandelt, also [mm] f_2°f_3: {\IR^2\to\IR^2}.
[/mm]
Und wie?
[mm] f_2 \circ f_3 (x,y)=f_2(f_3(x,y))=f_2(\bruch{x}{y^2+1})= ((\bruch{x}{y^2+1})^4+1, (\bruch{x}{y^2+1})^2) [/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:41 Mo 13.11.2006 | | Autor: | KnockDown |
Hi Angela,
vielen Dank für die ausführliche Erklärung in Textform! Jetzt habe ich das verstanden!
Dankeschön
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