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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:01 Sa 03.01.2009 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Es sei V ein K-Veltorraum und [mm] f:V\to\V [/mm] ein Endomorphismus mit [mm] f^2=f.
[/mm]
Man zeige V = ker [mm] f\oplus [/mm] im f. |
[mm] f^2 [/mm] bedeuted, dass f zweimal hintereinander ausgeführt genau das gleiche macht wie wenn ich f nur einmal ausführen würde.
Sei also [mm] a\in [/mm] V [mm] \Rightarrow [/mm] f(a) = f(f(a)).
Als erstes zeige ich, dass im [mm] f\cup [/mm] ker f = [mm] \emptyset.
[/mm]
Sprich wenn V = im f + ker f dann gilt auch V = im f [mm] \oplus [/mm] ker f
Angenommen es gäbe ein [mm] a\in [/mm] ker [mm] f\cup [/mm] im f würde gelten f(a) = 0, f(f(a) = f(0) = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \not\in [/mm] im f.
Jetzt wähle ich [mm] a_1,...,a_m\in [/mm] V ist Basis von im f
und [mm] a_{m+1}, [/mm] ..., [mm] a_n \in [/mm] V ist Basis von ker f.
Damit ist jetzt zu zeigen, dass [mm] a_1, [/mm] ..., [mm] a_n [/mm] eine Basis von V bilden.
Sei [mm] a\in [/mm] V [mm] \Rightarrow \exists [/mm] f(a) = [mm] \sum_{i=1}^m{\alpha_i*a_i} [/mm] mit [mm] \alpha_i\in [/mm] K.
[mm] \Rightarrow a-\sum_{i=1}^m\in [/mm] ker f
[mm] \Rightarrow \exists \alpha_{m+1}, [/mm] ..., [mm] \alpha_n [/mm] mit [mm] a-\sum_{i=1}^m [/mm] = [mm] \sum_{i=m+1}^n \Rightarrow [/mm] a = [mm] \sum_{i=1}^n
[/mm]
[mm] \Rightarrow a_1, [/mm] ..., [mm] a_n [/mm] sind Erzeugendensystem von V und da im [mm] f\cup [/mm] ker [mm] f=\emptyset [/mm] sind die [mm] a_1, [/mm] ..., [mm] a_n [/mm] auch linear unabhängig, bilden damit eine Basis von V und es gilt V = ker [mm] f\oplus [/mm] im f
Passt das so?
Gruß Zerwas
Ich habe diese Frage auf keinem anderen Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es sei V ein K-Veltorraum und [mm]f:V\to\V[/mm] ein Endomorphismus
> mit [mm]f^2=f.[/mm]
> Man zeige V = ker [mm]f\oplus[/mm] im f.
> [mm]f^2[/mm] bedeuted, dass f zweimal hintereinander ausgeführt
> genau das gleiche macht wie wenn ich f nur einmal ausführen
> würde.
> Sei also [mm]a\in[/mm] V [mm]\Rightarrow[/mm] f(a) = f(f(a)).
> Als erstes zeige ich, dass im [mm]f\cup[/mm] ker f = [mm]\emptyset.[/mm]
Hallo,
das ist eine außerordentlich schlechte Idee.
Wenn das so wäre, wäre nämlich V kein Vektorraum...
Aber es ist ja auch etwas völlig anderes zu zeigen, nämlich im[mm]f\caup[/mm] ker f [mm] =\{0\}.
[/mm]
> Sprich wenn V = im f + ker f dann gilt auch V = im f
> [mm]\oplus[/mm] ker f
> Angenommen es gäbe ein [mm]a\in[/mm] ker [mm]f\cup[/mm] im f würde gelten [mm]\emptyset.[/mm]
> f(a) = 0, f(f(a) = f(0) = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] a [mm]\not\in[/mm] im f.
Wie kommst Du auf diesen Schluß? das geht erstens zu schnell und ist zweitens verkehrt.
Dein zweiter Teil, der nun folgt, ist im Prinzip in Ordnung, solange die Endlichkeit von V vorausgsetzt war. War das so?
Man kann das Hantieren mit der Basis aber leicht umschiffn, die Idee kommt bei Dir ja auch vor:
Ich würde es mir hier aber (auch für endl. VRe) einfach machen
schreibe a als a=(a-f(a))+f(a).
Nun rechne vor, daß a-f(a) für jedes a im Kern liegt. damit hast Du dann ja gezeigt, daß V=kernf+ Bildf.
Gruß v. Angela
> Jetzt wähle ich [mm]a_1,...,a_m\in[/mm] V ist Basis von im f
> und [mm]a_{m+1},[/mm] ..., [mm]a_n \in[/mm] V ist Basis von ker f.
> Damit ist jetzt zu zeigen, dass [mm]a_1,[/mm] ..., [mm]a_n[/mm] eine Basis
> von V bilden.
> Sei [mm]a\in[/mm] V [mm]\Rightarrow \exists[/mm] f(a) =
> [mm]\sum_{i=1}^m{\alpha_i*a_i}[/mm] mit [mm]\alpha_i\in[/mm] K.
> [mm]\Rightarrow a-\sum_{i=1}^m\in[/mm] ker f
> [mm]\Rightarrow \exists \alpha_{m+1},[/mm] ..., [mm]\alpha_n[/mm] mit
> [mm]a-\sum_{i=1}^m[/mm] = [mm]\sum_{i=m+1}^n \Rightarrow[/mm] a =
> [mm]\sum_{i=1}^n[/mm]
> [mm]\Rightarrow a_1,[/mm] ..., [mm]a_n[/mm] sind Erzeugendensystem von V und
> da im [mm]f\cup[/mm] ker [mm]f=\emptyset[/mm] sind die [mm]a_1,[/mm] ..., [mm]a_n[/mm] auch
> linear unabhängig, bilden damit eine Basis von V und es
> gilt V = ker [mm]f\oplus[/mm] im f
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> Passt das so?
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> Gruß Zerwas
>
> Ich habe diese Frage auf keinem anderen Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:07 Mo 05.01.2009 | | Autor: | Zerwas |
Okay danke erstmal :)
Bei dem ersten Schluss mit der leeren Menge habe ich nicht nachgedacht. Das ist klar, dass der Schnitt zweier UVRs des gleichen VRs nicht leer sein darf.
Zu zeigen, dass a-f(a) [mm] \in [/mm] ker f [mm] \forall a\in [/mm] V ist recht einfach das stimmt:
zz.: f(a-f(a))=0
f(a-f(a))=f(a) - [mm] f^2(a) [/mm] = f(a)-f(a) = f(a-a) = f(0) = 0
Die Endlichkeit war in dieser Aufgabe zwar vorausgesetzt aber trotzdem die Frage wie ich das ganze im unendlich Dimensionalen mache?
Prinzipiell müssen dann ja Bild und/oder Kern auch von unendlicher Dimension sein damit die Aussage noch zutrifft. Dann habe ich aber das Problem, dass ich nichtmehr wie in meinem ersten Beweis über die Anzahl der Basiselemente argumentieren kann. Heißt ich brauche einen völlig anderen Ansatz; aber wie?
Danke und Gruß Zerwas
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> Zu zeigen, dass a-f(a) [mm]\in[/mm] ker f [mm]\forall a\in[/mm] V ist recht
> einfach das stimmt:
> zz.: f(a-f(a))=0
> f(a-f(a))=f(a) - [mm]f^2(a)[/mm] = f(a)-f(a) = f(a-a) = f(0) = 0
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> Die Endlichkeit war in dieser Aufgabe zwar vorausgesetzt
> aber trotzdem die Frage wie ich das ganze im unendlich
> Dimensionalen mache?
Hallo,
wenn Du das so machst wie hier oben, kommt ja die Basis gar nicht mehr vor, und Du hast diese Klippe bereits umschifft.
Gruß v. Angela
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