Komposition von linearen Isos < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:34 Mi 12.12.2007 | | Autor: | schotty |
| Aufgabe | Sei V ein endlich Dimensionaler Vektorraum ueber dem Koerper K.
Zu jeder Basis [mm] a_{1},a_{2},...,a_{n} [/mm] von V sei [mm] \lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{m} [/mm] die duale Basis von V*:=L(V,K) mit [mm] \lambda_{k}(a_{i})=\delta_{ik}. [/mm] Wegen n=m definiert die Zuordnung [mm] a_{i}\mapsto\lambda_{i} [/mm] einen linearen Isomorphismus [mm] \varphi_{v}:V \to [/mm] V*. Analog erhaelt man einen linearen Isomorphismus [mm] \varphi_{v}:V* \to [/mm] V**. Durch Komposition erhaelt man schliesslich einen linearen Isomorphismus [mm] \phi_{v}:V \to [/mm] V**. Man zeige, dass fuer all x [mm] \in [/mm] V und fuer alle f [mm] \in [/mm] V*gilt:
[mm] (\phi_{v}(x))(f)=f(x).
[/mm]
Dieser Isomorphismus [mm] \phi_{v}:V \to [/mm] V** ist also von der Wahl der Basis von V unabhaengig. |
Der Ansatz hierzu war nun:
Beh: [mm] (\phi(x))(f)=f(x)
[/mm]
Bew: [mm] \phi [/mm] linear, d.h. es reicht die Basis zu betrachten.
Sei i,k beliebig
[mm] (\phi(a_{i})(\lambda_{k})=\varphi_{v}\circ(\varphi_{v}(a_{i}))(\lambda_{k})
[/mm]
[mm] \lambda_{k}(a_{i})=\delta_{ik}=\varphi_{v}\circ(\lambda_{i})(\lambda_{k})
[/mm]
wobei aus [mm] \varphi_{v}\circ(\lambda_{i}) [/mm] erhaelt man entweder 0 (falls i=k) oder 1 (falls i [mm] \not=k)
[/mm]
Nun weis ich aber absolut nich weiter...irgendwie is die ganze aufgabe komisch...muss aber leider dringends bis montag morgen fertig sein....hilfeeeee
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mo 17.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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