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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:48 So 29.01.2006 | | Autor: | jennyf |
Meine Frage bezieht sich auf die KOmpositionsreihen von Gruppen. Wie kann ich alle KOmpositionsreihen einer Gruppe angeben?. Zum Beispiel für die Gruppe [mm] \IZ20?
[/mm]
Ich weiß ja, dass die Gruppe kommutativ ist und somit alle Untergruppen auch Normalteiler sind und ich weiß das die Faktoren der Kompositionsreihen einfach sein müssen, also nur sich selbst und [mm] \{e \} [/mm] als Normalteiler besitzen, aber irgendwie bekomme ich keine Richtige Idee?
Kann mir vielleicht jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:48 So 29.01.2006 | | Autor: | DerHein |
Hallo,
Naja im Falle Zyklischer Gruppen ist die Sache sogar noch einfacher.
Man weiss ja, dass die Ordnung jeder Untergruppe die Ordnung der Gruppe teilen muss, und zu jedem Teiler existiert natürlich auch eine Untergruppe:
Sei a ein Teiler von n, b = n/a. Dann ist b*Z/nZ [mm] $\subset$ [/mm] Z/nZ eine Untergruppe der Ordnung a. Die Faktorgruppe ist isomorph zu Z/aZ.
Eine zyklische Gruppe ist also genau dann einfach falls die Ordnung prim ist.
Die Kompositionsreihen lassen sich also aus der Primfaktorzerlegung ablesen. Jede Sortierung der Primfaktoren ergibt eine Kompositionsreihe:
im Bsp: 20 = 2*2*5:
Z/20 <---- Z/10 <----- Z/5Z =^= 2*2*5
2 <----| 1, 2<-----| 1
Z/20 <---- Z/10 <----- Z/2Z =^= 2*5*2
2 <----| 1, 5<-----| 1
Z/20 <---- Z/4 <----- Z/2Z =^= 5*2*2
5 <----| 1, 2<-----| 1
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