Konfidenzintervall Exp-Vert. < Statistik (Anwend.) < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seien [mm] X_1,\dotsc X_n [/mm] unabhängige Zufallsvariablen. [mm] X_i\sim Exp(\lambda), \lambda [/mm] > 0 [mm] \forall [/mm] i. Die Summe dieser ZV ist Chi-Quadrat verteilt und es folgt weiters:
[mm] P_\lambda(\chi_{2n,\alpha \gamma}^2\leq [/mm] 2 [mm] \lambda \summe_{i=1}^n X_i\leq \chi_{2n,1-\alpha(1-\gamma)}^2)=1-\alpha.
[/mm]
Somit ist [mm] [\bruch{\chi_{2n,\alpha \gamma}^2}{2 \lambda \summe_{i=1}^n X_i},\bruch{\chi_{2n,1-\alpha(1-\gamma)}^2}{2 \lambda \summe_{i=1}^n X_i}] [/mm] ein [mm] (1-\alpha)-Konfidenzintervall.
[/mm]
Zeigen Sie:
Die Länge [mm] l_\alpha(\gamma)=\chi_{2n,1-\alpha(1-\gamma)}^2-\chi_{2n,\alpha \gamma}^2 [/mm] ist minimal, wenn [mm] \gamma [/mm] so gewählt ist, dass der Wert der Dichtefunktion [mm] f_{2n} [/mm] der [mm] \chi^2-Verteilung [/mm] mit 2n Freiheitsgraden an den Stellen [mm] \alpha \gamma [/mm] und [mm] 1-\alpha(1-\gamma) [/mm] gleich ist, d.h.:
[mm] f_{2n}(\chi_{2n,1-\alpha(1-\gamma)}^2)=f_{2n}(\chi_{2n,\alpha \gamma}^2). [/mm] |
Anschaulich ist mir das irgendwie klar, aber formal hab ich keinen Plan wie ich das ansetzen soll.
Bitte um einen Rat!
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:32 So 20.01.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin chimneytop,
dein Kommentar neulich zum Buch von Mood et al.:
Inzwischen steht das gute Buch eh schon bei mir im Regal. Muss das Bsp. irgendwie überblättert haben.
Wie blaetterst du denn?
Hast du dort schon einmal auf Seite 383 geschaut?
vg Luis
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Hab ich gelesen. Nur geht's doch da um ein Konfidenzintervall für die Varianz [mm] \sigma^2 [/mm] einer Normalverteilung (bei unbekanntem [mm] \mu).
[/mm]
Mir ist inzwischen einleuchtend, dass es in meinem Fall ähnlich gehn wird, aber ich kann den Rechengang nicht ganz nachvollziehen. So weit ichs richtig versteh, müsste ich die Ableitung der Funktion l bilden, nullsetzen und daraus dann die Folgerung ableiten.
Ich suche also
[mm] \bruch{d}{dl} l_\alpha(\gamma)=\chi_{2n,1-\alpha(1-\gamma)}^2-\chi_{2n,\alpha \gamma}^2
[/mm]
mit dem Ansatz (??)
[mm] \integral_{\chi_{2n,1-\alpha(1-\gamma)}^2}^{\chi_{2n,\alpha \gamma}^2}{f_{2n}(x) dx}=1-\alpha.
[/mm]
Ich tu mir etwas schwer mit den Quantilen [mm] \chi_{2n,x} [/mm] zu rechnen. Vermutlich gibt es da eine Eigenschaft, die den Zusammenhang sofort klar macht??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:00 Mo 21.01.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin chimneytop,
gut, ich sehe gerade auch, dass das Beispiel aus dem Buch nicht passt.
Es bezeichne F die Verteilungsfunktion der [mm] $\chi^2(2n)$-Verteilung. [/mm] Dann
gilt [mm] $\chi_{2n,\alpha \gamma}^2=F^{-1}(\alpha \gamma)$ [/mm] und somit
[mm] $l(\gamma)=F^{-1}(1-\alpha+\alpha \gamma) -F^{-1}(\alpha\gamma)$.
[/mm]
Nach Regeln der Differentialrechnung ergibt sich
[mm] $\frac{\partial l(\gamma)}{\partial\gamma}=\frac{\alpha}{f(F^{-1}(1-\alpha+\alpha\gamma))}-\frac{\alpha}{f(F^{-1}(\alpha \gamma))}$,
[/mm]
woraus die erste Behauptung folgt. Die Ueberpruefung, ob es sich
tatsaechlich um ein Minimum handelt, ueberlasse ich dir.
vg Luis
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