Konfidenzintervalle < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:02 Mi 04.02.2009 | | Autor: | Marcel08 |
| Aufgabe | Konfidenzintervalle
Ein Automobilhersteller testet den Kraftstoffverbrauch (in l/100km) seines neuesten Modells an 70 Testfahrzeugen. Die Testfahrten ergaben einen durchschnittlichen Verbrauch von [mm] \overline{x}=3.73 [/mm] mit der Stichprobenvarianz [mm] s^{2}=1.27.
[/mm]
a) Unter geeigneten Annahmen bestimme man ein Konfidenzintervall mit
Konfidenzwahrscheinlichkeit [mm] 1-\alpha=0.99 [/mm] für den Erwartungswert m
und eines für die Varianz [mm] \sigma^{2}.
[/mm]
Während der Testfahrten fielen 14 Fahrzeuge durch merkwürdige Motorengeräusche auf.
b) Unter geeigneten Annahmen bestimme man ein (approximatives)
Konfidenzintervall mit Konfidenzwahrscheinlichkeit 1-alpha=0.95 für die
Wahrscheinlichkeit p, dass ein zufällig ausgewähltes Fahrzeug bei einer
neuerlichen Testfahrt wieder durch besagte Motorengeräusche auffällt. |
Lieber Matheraum,
es wäre sehr nett, wenn sich jemand mal meine Lösungsvorschläge ansehen könnte.
a.1) Konfidenzintervall für den Erwartungswert m (n>30)
[mm] \sigma^{2} [/mm] ist unbekannt. Wir erhalten also
[mm] [\overline{X}-z_{1-\bruch{\alpha}{2}}\bruch{S}{\wurzel{n}},\overline{X}+z_{1-\bruch{\alpha}{2}}\bruch{S}{\wurzel{n}}]
[/mm]
Einsetzen liefert
[mm] [3.73-2.6479*\wurzel{\bruch{1.27}{70}},3.73+2.6479*\wurzel{\bruch{1.27}{70}}]
[/mm]
Es ergibt sich das folgende Intervall
[3.373,4.087]
a.2) Konfidenzintervall für die Varianz [mm] \sigma^{2} [/mm] gemäß
[mm] [\bruch{(n-1)S^{2}}{q_{1-\bruch{\alpha}{2}}}],\bruch{(n-1)S^{2}}{q_{\bruch{\alpha}{2}}}]
[/mm]
Einsetzen liefert
[mm] [\bruch{(70-1)1.27}{104.215},\bruch{(70-1)1.27}{43.275}]
[/mm]
Es ergibt sich das folgende Intervall
[0.841,2.025]
b) Konfidenzintervall für den Anteilswert [mm] \pi
[/mm]
Wir berechnen zunächst den Anteilswert [mm] \pi [/mm]
[mm] \pi=\bruch{14}{70}=0.2
[/mm]
Ferner gilt nun
[mm] [\pi-z_{1-\bruch{\alpha}{2}}\wurzel{\bruch{\pi(1-\pi)}{n}},\pi+z_{1-\bruch{\alpha}{2}}\wurzel{\bruch{\pi(1-\pi)}{n}}]
[/mm]
Einsetzen liefert
[mm] [0.2-1.9944\wurzel{\bruch{0.2(1-0.2)}{70}},0.2+1.9944\wurzel{\bruch{0.2(1-0.2)}{70}}]
[/mm]
Es ergibt sich dann das folgende Intervall
[0.104,2.953]
Stimmen meine Lösungen, insbesondere die jeweils verwendeten Formeln? Über eine baldige Antwort würde ich mich sehr freuen.
Gruß, Marcel
|
|
| |
|
Hallo,
> a.1) Konfidenzintervall für den Erwartungswert m (n>30)
>
>
> [mm]\sigma^{2}[/mm] ist unbekannt. Wir erhalten also
>
>
> [mm][\overline{X}-z_{1-\bruch{\alpha}{2}}\bruch{S}{\wurzel{n}},\overline{X}+z_{1-\bruch{\alpha}{2}}\bruch{S}{\wurzel{n}}][/mm]
>
>
>
> Einsetzen liefert
>
>
> [mm][3.73-2.6479*\wurzel{\bruch{1.27}{70}},3.73+2.6479*\wurzel{\bruch{1.27}{70}}][/mm]
>
>
>
> Es ergibt sich das folgende Intervall
>
>
> [3.373,4.087]
>
Wenn du die Varianz als unbekannt vorraussetzt und S als Schätzer der Streuung verwendest, musst du das Fraktil der t-Verteilung benutzen nicht das der Standardnormalverteilung.
>
>
> a.2) Konfidenzintervall für die Varianz [mm]\sigma^{2}[/mm] gemäß
>
>
> [mm][\bruch{(n-1)S^{2}}{q_{1-\bruch{\alpha}{2}}}],\bruch{(n-1)S^{2}}{q_{\bruch{\alpha}{2}}}][/mm]
>
>
>
> Einsetzen liefert
>
>
> [mm][\bruch{(70-1)1.27}{104.215},\bruch{(70-1)1.27}{43.275}][/mm]
>
>
>
> Es ergibt sich das folgende Intervall
>
>
> [0.841,2.025]
>
wenn es sich bei q um die Werte der Chi-Quadrat-Verteilung handelt, dann ist es richtig!
>
> b) Konfidenzintervall für den Anteilswert [mm]\pi[/mm][/b]
>
>
> Wir berechnen zunächst den Anteilswert [mm]\pi[/mm]
>
>
> [mm]\pi=\bruch{14}{70}=0.2[/mm]
>
>
>
> Ferner gilt nun
>
>
> [mm][\pi-z_{1-\bruch{\alpha}{2}}\wurzel{\bruch{\pi(1-\pi)}{n}},\pi+z_{1-\bruch{\alpha}{2}}\wurzel{\bruch{\pi(1-\pi)}{n}}][/mm]
>
>
>
> Einsetzen liefert
>
>
> [mm][0.2-1.9944\wurzel{\bruch{0.2(1-0.2)}{70}},0.2+1.9944\wurzel{\bruch{0.2(1-0.2)}{70}}][/mm]
>
>
>
> Es ergibt sich dann das folgende Intervall
>
>
> [0.104,2.953]
scheint auch richtig zu sein.
Grüße, Steffen
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
>
> > a.1) Konfidenzintervall für den Erwartungswert m (n>30)
> >
> >
> > [mm]\sigma^{2}[/mm] ist unbekannt. Wir erhalten also
> >
> >
> >
> [mm][\overline{X}-z_{1-\bruch{\alpha}{2}}\bruch{S}{\wurzel{n}},\overline{X}+z_{1-\bruch{\alpha}{2}}\bruch{S}{\wurzel{n}}][/mm]
> >
> >
> >
> > Einsetzen liefert
> >
> >
> >
> [mm][3.73-2.6479*\wurzel{\bruch{1.27}{70}},3.73+2.6479*\wurzel{\bruch{1.27}{70}}][/mm]
> >
> >
> >
> > Es ergibt sich das folgende Intervall
> >
> >
> > [3.373,4.087]
> >
>
> Wenn du die Varianz als unbekannt vorraussetzt und S als
> Schätzer der Streuung verwendest, musst du das Fraktil der
> t-Verteilung benutzen nicht das der
> Standardnormalverteilung.
>
> > Das entspräche dann welcher Konfidenzintervall-Formel?
> >
> > a.2) Konfidenzintervall für die Varianz [mm]\sigma^{2}[/mm] gemäß
> >
> >
> >
> [mm][\bruch{(n-1)S^{2}}{q_{1-\bruch{\alpha}{2}}}],\bruch{(n-1)S^{2}}{q_{\bruch{\alpha}{2}}}][/mm]
> >
> >
> >
> > Einsetzen liefert
> >
> >
> > [mm][\bruch{(70-1)1.27}{104.215},\bruch{(70-1)1.27}{43.275}][/mm]
> >
> >
> >
> > Es ergibt sich das folgende Intervall
> >
> >
> > [0.841,2.025]
> >
>
> wenn es sich bei q um die Werte der Chi-Quadrat-Verteilung
> handelt, dann ist es richtig!
>
> >
> > b) Konfidenzintervall für den Anteilswert [mm]\pi[/mm][/b]
> >
> >
> > Wir berechnen zunächst den Anteilswert [mm]\pi[/mm]
> >
> >
> > [mm]\pi=\bruch{14}{70}=0.2[/mm]
> >
> >
> >
> > Ferner gilt nun
> >
> >
> >
> [mm][\pi-z_{1-\bruch{\alpha}{2}}\wurzel{\bruch{\pi(1-\pi)}{n}},\pi+z_{1-\bruch{\alpha}{2}}\wurzel{\bruch{\pi(1-\pi)}{n}}][/mm]
> >
> >
> >
> > Einsetzen liefert
> >
> >
> >
> [mm][0.2-1.9944\wurzel{\bruch{0.2(1-0.2)}{70}},0.2+1.9944\wurzel{\bruch{0.2(1-0.2)}{70}}][/mm]
> >
> >
> >
> > Es ergibt sich dann das folgende Intervall
> >
> >
> > [0.104,2.953]
>
> scheint auch richtig zu sein.
> Grüße, Steffen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:28 Do 05.02.2009 | | Autor: | Marcel08 |
Okay, meine Frage hat sich erledigt. Vielen Dank!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Fr 06.02.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
