Kongruenz-Sätze < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:33 Sa 20.09.2008 | | Autor: | Giraffe |
Ihr lieben Helfer u. Helferinnen,
SSS alles klar, auch was daran kongruent ist, bzw. gegensinnig kongruent.
SWS auch klar, wieder gegensinnig kongruent.
Die Bezeichnung bei SSS ist auch klar, da gibt es einfach nix anderes.
Bei SWS sieht man es schon an dieser Buchstabenfolge, dass der Winkel in der Mitte zwisch. den Seiten liegt.
Bei SSW (oder WSS geht das auch so zu sagen? - das war schon die erste Frage.
Zweite Frage: Bei SSW gibt es dummerweise oder auch interessanterweise 2 mögliche Dreiecke (2 Lösungen), absolut nicht kongruent.
a) 1 Schnittpkt (SP)
b) 2 SP
Sie gestatten, dass ich bereits hier beim Tippen lerne:
a) kann ich mir nun ENDLICH merken, weil alles mit G ist:
Gegeb. Winkel Gegenüber v. Größer Gegeb. Seite
b) 2 SP, d.h. 2 Dreiecke, absolut nicht kongruent.
Dritte Frage:
Wie erklärt sich die Anordnung der Buchstaben SSW?
Mir scheint es ist egal, in welchem Umlaufsinn ich die 3 gegeb. Größen ablese, entweder li rum oder re rum, aber Umlaufsinn muss sein, man darf nur nicht springen. Ist die Richtung egal?
Vierte Frage: Gibt es auch für den dritten Kongruenz-Satz eine Lösung mit null SP?
Ich hoffe sehr, dass es jmd. gibt, der sich meiner erbarmt u. nicht zögert oder der sogar noch Spaß hat mir zu antw.
DANKE
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:13 Sa 20.09.2008 | | Autor: | abakus |
> Ihr lieben Helfer u. Helferinnen,
> SSS alles klar, auch was daran kongruent ist, bzw.
> gegensinnig kongruent.
> SWS auch klar, wieder gegensinnig kongruent.
> Die Bezeichnung bei SSS ist auch klar, da gibt es einfach
> nix anderes.
> Bei SWS sieht man es schon an dieser Buchstabenfolge, dass
> der Winkel in der Mitte zwisch. den Seiten liegt.
>
> Bei SSW (oder WSS geht das auch so zu sagen? - das war
> schon die erste Frage.
>
> Zweite Frage: Bei SSW gibt es dummerweise oder auch
> interessanterweise 2 mögliche Dreiecke (2 Lösungen),
> absolut nicht kongruent.
> a) 1 Schnittpkt (SP)
> b) 2 SP
>
> Sie gestatten, dass ich bereits hier beim Tippen lerne:
> a) kann ich mir nun ENDLICH merken, weil alles mit G
> ist:
> Gegeb. Winkel Gegenüber v. Größer Gegeb. Seite
> b) 2 SP, d.h. 2 Dreiecke, absolut nicht kongruent.
>
> Dritte Frage:
> Wie erklärt sich die Anordnung der Buchstaben SSW?
>
> Mir scheint es ist egal, in welchem Umlaufsinn ich die 3
> gegeb. Größen ablese, entweder li rum oder re rum, aber
> Umlaufsinn muss sein, man darf nur nicht springen. Ist die
> Richtung egal?
>
> Vierte Frage: Gibt es auch für den dritten Kongruenz-Satz
> eine Lösung mit null SP?
>
> Ich hoffe sehr, dass es jmd. gibt, der sich meiner erbarmt
> u. nicht zögert oder der sogar noch Spaß hat mir zu antw.
> DANKE
Hallo, wenn du von KONGRUENZSATZ redest, dann ist SSW irreführend.
Richtig muss es heißen "SsW".
Das bedeutet: Zwei Dreecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten (davon eine größere Seite S und eine kleinere Seite s) und einem Winkel übereinstimmen (der nicht zwischen den beiden Seiten liegt - dann wäre es SWS - sondern der einer der beiden Seiten -und zwar der GRÖßEREN- also groß S- gegenüberliegt).
Wenn also von einem Dreieck zwei Seiten und ein Winkel gegeben ist, der NICHT zwischen diesen beiden Seiten liegt, dann ist das Dreieck
eindeutig konstruierbar, wenn der Winkel der größeren Seite gegenüberliegt.
Wenn der gegebene Winkel der kleinerer Seite gegenüberliegt, gibt es eventuell 2, eventuell eine oder eventuell gar keine Lösung.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:57 So 21.09.2008 | | Autor: | Giraffe |
Gut. Morgen,
<SsW
So ist es ja noch viel besser, weil man es opt. schon gleich sehen kann.
DANKE
> Vierte Frage: Gibt es auch für den dritten Kongruenz-Satz
> eine Lösung mit null SP?
Du meintest "ja"
Aber wann ist das der Fall? Mir fehlt die Vorstellg.
Wenn z.B. a=0 u. b=0 u. alpha auch = 0
(ok, das ist eine Gerade, aber die hat keinen SP)
Was anderes kann ich mir z.Zt. nicht vorstellen.
Könntest du mir bitte Größen geben, sodass ich es prakt. mal machen kann?
Schönen Sonntag u. DANKE
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:16 So 21.09.2008 | | Autor: | abakus |
> Gut. Morgen,
> <SsW
> So ist es ja noch viel besser, weil man es opt. schon
> gleich sehen kann.
> DANKE
> > Vierte Frage: Gibt es auch für den dritten
> Kongruenz-Satz
> > eine Lösung mit null SP?
> Du meintest "ja"
> Aber wann ist das der Fall? Mir fehlt die Vorstellg.
> Wenn z.B. a=0 u. b=0 u. alpha auch = 0
> (ok, das ist eine Gerade, aber die hat keinen SP)
> Was anderes kann ich mir z.Zt. nicht vorstellen.
> Könntest du mir bitte Größen geben, sodass ich es prakt.
> mal machen kann?
> Schönen Sonntag u. DANKE
Hallo,
nehmen wir mal ein Beispiel im Koordinatensystem (lässt sich einfacher beschreiben.
Es seien gegeben:
A(0|0), B(5|0) und damit eine Strecke AB mit 5 Einheiten Länge.
Zeichne dir nur an diese Strecke im Punkt A einen Winkel von 45° an.
Gegeben sei noch die Länge der Strecke BC. Wie konstruiert man den Punkt C?
Nun, man sticht mit dem Zirkel im Punkt B ein und konstruiert einen Kreisbogen mit dem Radius BC, der dann den Schenkel des 45°-Winkels schneidet (oder auch nicht).
Bereite mal eine Skizze mit A, B und 45° wie beschrieben vor.
Fall 1: Wähle für BC einen Radius größer als 5 cm (z.B. 6 cm) und zeichne mit diesem Radius einen Kreis um B. Es gibt genau einen Schnittpunkt mit dem freien Schenkel des 45°-Winkels (schließlich liegt der gegebene Winkel ja auch der größeren Seite gegenüber.
Fall 2: Wähle für BC einen Radius von 4,5 cm. Diesmal hat der Kreis um B zwei Schnittpunkte [mm] C_1 [/mm] und [mm] C_2 [/mm] mit dem freien Schenkel. Die Dreiecke [mm] ABC_1 [/mm] und [mm] ABC_2 [/mm] sind nicht kongruent, haben aber jeweils Seiten von 5 cm und 4,5 cm und einen Winkel von 45°.
Fall 3:
Verkleinere den Kreisradius so weit, dass der Kreis nicht mehr in zwei Punkten schneidet, sondern gerade noch in einem Punkt berührt.
Fall 4:
Verkleinere den Radius weiter. Der Radius ist jetzt so klein, dass der Kreis den Schenkel gar nicht mehr trifft.
Die Fälle 2 und 4 stehen für 2 bzw. keine Lösung.. Fall 3 ist ein Sonderfall, weil es in dieser einen Situation auch genau eine Lösung gibt, obwohl der gegebene Winkel nicht der größeren Seite gegenüberliegt.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:21 So 21.09.2008 | | Autor: | Giraffe |
Nabend Abakus,
erstmal ganz vielen Dank f. die ausführliche Antw.
Es tat mir fast leid, denn als ich nach allen angegebenen Anleitungen den Zirkel in B stach, -du hattest nicht die Strecke zwisch. B u. C angegeben- genau deshalb war dann schon alles klar (alle 3 Fälle).
Aber, dennoch muss ich morgen, wenn ich aufgetankt u. ausgeruht bin, nochmal die Zwischentexte v. dir lesen. Denn heute abend gibt es da einen Dreher, dabei kann doch nur eines richtig sein.
Ich hoffe morgen wird es sich klären, sonst darf ich wahrscheinl. nochmal fragen.
Gute Nacht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:30 Mo 22.09.2008 | | Autor: | Giraffe |
Gut. Morgen,
das kommt dabei raus, wenn man zu voreilig ist.
Ich habe nun ALLE deine Anweisungen korrekt u. auch der Reihe nach ausgeführt.
Es handelte sich überhaupt nicht um einen Dreher, sondern es lag exakt an
<Fall 3 ist ein Sonderfall, weil es in dieser einen Situation
<auch genau eine Lösung gibt, obwohl der gegebene Winkel
<nicht der größeren Seite gegenüberliegt.
So, das ist nun zumindest alles klaro. Toll, DANKE dir, deine Schreibmühe war keineswegs zuviel.
Eines ist da allerdings noch:
Ich fragte:
> Mir scheint es ist egal, in welchem Umlaufsinn ich die 3
> gegeb. Größen ablese, entweder li rum oder re rum, aber
> Umlaufsinn muss sein, man darf nur nicht springen. Ist die
> Richtung tatsächl. egal?
Du antwortetest:
<Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten (davon
<eine größere Seite S und eine kleinere Seite s) und einem
<Winkel übereinstimmen (der nicht zwischen den beiden Seiten
<liegt - dann wäre es SWS - sondern der einer der beiden
<Seiten -und zwar der GRÖßEREN- also groß S- gegenüberliegt).
<Wenn also von einem Dreieck zwei Seiten und ein Winkel ge-
<geben ist, der NICHT zwischen diesen beiden Seiten liegt,
<dann ist das Dreieck eindeutig konstruierbar, wenn der Winkel
<der größeren Seite gegenüberliegt.
Soll es danach Blödsinn sein, acht auf die Reihenfolge der Buchstaben (SWS oder SSW oder oder oder) zu geben, bzw. mir sie so zu merken, wie ich sie in der Skizze an den gegebenen Größen ablesen kann? (kann sein, wenn ich es kapiert hätte, dass ich diese Frage gar nicht stellen würde).
Für nochmalige Antw. vielen Dank!!!!
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> Du antwortetest:
> <Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten
> (davon
> <eine größere Seite S und eine kleinere Seite s) und
> einem
> <Winkel übereinstimmen (der nicht zwischen den beiden
> Seiten
> <liegt - dann wäre es SWS - sondern der einer der beiden
> <Seiten -und zwar der GRÖßEREN- also groß S-
> gegenüberliegt).
> <Wenn also von einem Dreieck zwei Seiten und ein Winkel
> ge-
> <geben ist, der NICHT zwischen diesen beiden Seiten
> liegt,
> <dann ist das Dreieck eindeutig konstruierbar, wenn der
> Winkel
> <der größeren Seite gegenüberliegt.
>
> Soll es danach Blödsinn sein, acht auf die Reihenfolge der
> Buchstaben (SWS oder SSW oder oder oder) zu geben, bzw. mir
> sie so zu merken, wie ich sie in der Skizze an den
> gegebenen Größen ablesen kann?
Hallo,
ganz sicher bin ich nicht, ob ich Dein Problem richtig verstanden habe - aber ich versuch's.
WSW:
wenn man eine Seite gegeben hat und die beiden an dieser Seite anliegenden Winkel (W rechts und W links), sind die Dreiecke, die man mit diesen Angaben konstruieren kann, allesamt kongruent. (Nicht unbedingt gleichsinnig kongruent.)
Was ist nun mit SWW, eine Seite, ein anliegender Winkel und der gegenüberliegende Winkel? Wenn man einen anliegenden und den gegenüberliegenden Winkel kennt, kennt man auch den zweiten anliegenden Winkel, ist also wieder bei WSW.
Warum nun WSW und nicht SWW? Weil man WSW direkt konstruieren kann.
Was nicht stimmen würde, wäre, wenn man sich einfach merken würde: eine Seite gleich, zwei Winkel gleich, daraus folgt Dreiecke kongruent.
Es kommt darauf an, daß wirklich die Positionen der gleichen Winkel übereinstimmen.
SWS , SsW
Auch hier ist die Reihenfolge überhaupt nicht egal. "Zwei Seiten und ein Winkel gleich" reicht nicht. Der gleiche Winkel muß der eingeschlossene oder der der größeren Seite gegenüberliegende sein. Sonst bekommt an nicht unbedingt kongruente Dreiecke, sondern die können u:U. sehr verscheiden aussehen.
Probier's mal aus! (Hat meine Tochter gerade vor ein paar Tagen gemacht, und sie war verblüfft!)
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:30 Mo 22.09.2008 | | Autor: | Giraffe |
Hallo Angela,
ich habe deine Antw. mit meinen Worten geschrieben, so werde ich es auch abheften, wenn daran nix auszusetzen ist:
WSW
Wenn eine Seite geg. u. die beiden an dieser Seite anliegenden Winkel (einer re, der andere li) ebenfalls geg. sind, dann sind die beiden Dreiecke, die man mit diesen Angaben konstruieren kann, zueinander kongruent.
Die Länge der unbekannten Seiten muss man nicht wissen, weil sie sich irgendwann automat. treffen/schneiden.
Wenn man den Pkt C einmal nach oben legt u. dann das Dreieck zeichnet u. ein weiteres mal zeichnet, wenn C unten liegt, dann werden diese beiden Dreiecke auf Kongruenz überprüft. Sie sind es, aber ob nun gleich- od. gegensinnig spielt hierbei keine Rolle.
SWW
Geg. ist eine Seite, der re anlieg. Winkel u. der unmittelbare Nachbarwinkel (wie man nun auf die Skizze schaut, ob mit neg. od. pos. Umlaufsinn ist egal. Deswegen SWW = WWS.
Also Winkel neben Winkel u. an dem letztgenannten Winkel eine Seite.
Wenn man zwei Winkel hat, dann kennt man auch den dritten Winkel (Winkelsumme 180 )
D.h. also wieder WSW.
Warum nun WSW und nicht SWW? Weil man WSW direkt konstruieren kann.
Liebe Angela, du bist ein Schatz, dass erlaube ich mir mal auszusprechen. Denn bislang hatte ich mich nur mit SSS, SWS und SSW befasst . Weil es nur bei SSW haperte, hatte ich den WSW-Satz erstmal weggelassen.
Aber den hast du mir ja nun oben wunderbar herrlich nahegebracht (nämlich, dass mit dem "Trick" mit der Winkelsumme u. dass man den WSW besser macht, als den SWW). Auch wenn ich danach nun noch gar nicht gefragt hatte. Da ist ungewollt eine zweite Fliege mit unter die Klappe gekommen (schmunzel).
>Was nicht stimmen würde, wäre, wenn......
Nein, sowas habe ich bislang noch nicht gedacht gehabt.
>Es kommt darauf an, daß wirklich die Positionen der gleichen Winkel übereinstimmen.
Hups, jetzt sind plötzlich 2 Winkel gleich???
Naja, ich will ja nicht leugnen, dass das auch mal sein kann, aber bislang hatte ich nur Aufg. mit unregelmäßigen Dreiecken, also weder gleichseitig, noch gleichschenklig.
Ach so, du meinst wohl die Deckgs-Gleichheit in der Ebene!?! - Ja, das mit der Kongruenz, das sitzt endlich, nach einem sehr mühsamen langen Weg.
<SWS, SsW
<Auch hier ist die Reihenfolge überhaupt nicht egal. "Zwei Seiten und ein Winkel gleich" reicht nicht. <Der gleiche Winkel muß der eingeschlossene oder der der größeren Seite gegenüberliegende sein. <Sonst bekommt an nicht unbedingt kongruente Dreiecke, sondern die können u:U. sehr verscheiden <aussehen.
Es kann soviele wortsprachl. Missverständnisse geben, aber ich versuche es mal:
Die Reihenfolge, die ich meinte war: S1 W2 S3 = S3 W2 S1
Der SWS ist mir klar. Man sieht schon, wie die Buchstaben SWS angeordnet sind, dass der Winkel in der mitte zwisch. den geg. Seiten liegt. Auch hier kann man Eckpkt C nach oben u. nach unten packen. Beide sind kongruent, der Umlaufsinn ist dabei egal.
Der SWS ist so leicht, wie der SSS auch.
Ich glaube, die Kongruenz-Sätze schließe ich hiermit erstmal ab.
Klasse, dass du deine Tochter begeistern kannst; mich begeistert du auch!
DANKE DIR!
LG
Sabine
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:57 So 28.09.2008 | | Autor: | Giraffe |
Hallo Abakus,
<Sonderfall, weil es in dieser einen Situation auch
<genau eine Lösung gibt, obwohl der gegebene
<Winkel nicht der größeren Seite gegenüberliegt.
Ist dieser Sonderfall immer so, dass es immer ein gleichschenkliges Dreieck mit rechtem Winkel wird? Oder war das jetzt nur zufällig so, bei den v. dir geg. Größen?
Ein rechtwinkliges Dreieck ist ja nicht zwingend immer ein gleichschenkliges.
Aber bei diesem "kongruenten Sonderfall" fallen diese beiden Eigenschaften immer zusammen?
Für nochmalige Antw. vielen DANK.
Sabine
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:11 So 28.09.2008 | | Autor: | Giraffe |
Hallo Abakus,
< 2 Dreiecke sind kongruent, wenn sie in 2 Seiten (davon
< eine gr. Seite S u. eine kl Seite) u. einem Winkel
< übereinstimmen (der nicht zwisch. den beiden Seiten
< liegt, d.h. der der größeren gegeb. Seite gegenüberliegt).
ja, ok, klar.
<Wenn also v. einem Dreieck 2 Seiten u. ein Winkel gegeb.
<sind, der NICHT zwischen diesen beiden Seiten liegt,
<dann ist das Dreieck eindeutig konstruierbar, wenn der Winkel
<der größeren Seite gegenüberliegt.
Es geht nun um die beiden Worte eindeutig konstruierbar.
Ich hatte mich ursprünglich immer gefragt, was bei diesen 4 Sätzen das Kongruente ist.
Bei allen Dreieckskonstruktionen, die diese 4 Fälle betreffen kann ich meine Eckpunkte A, B u. C einmal im pos. Umlaufsinn u. ein anderes mal im neg. Umlaufsinn zeichnen. Ein Dreiecks-Paar ist so immer kongruent.
Ich dachte das wäre es.
Gleiches gilt auch für SSW u. auch für SsW
Auch der Sonderfall ist eindeutig konstruierbar, wenn ich die Strecke AB als g = Grundlinie/Waagerechte so auf s Papier lege kann ich C einmal nach oben u. einmal nach unten zeichnen. Beide Dreiecke sind kongruent.
Meint das das Kongruente dieser 4 Kongruenz-Sätze?
<dann ist das Dreieck eindeutig konstruierbar, wenn der Winkel
<der größeren Seite gegenüberliegt.
Es ist doch auch eindeutig konstruierbar, wenn die beiden gegeb. Seiten gleich lang sind (unser Sonderfall)
Oder wie jetzt?
Außer dass die tangentiale Berührg. meines Zirkelkreises an der gegenüberliegenden Geraden (Sonderfall) ziemlich groß ist, d.h. dieser Pkt. zeichnerisch nicht so eindeutig ist, ob ich ihn hierhin setze oder 1-2 mm weiter. Aber das kann ja wohl nicht das Probl. sein.
Für Klärung vielen DANK
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:39 So 28.09.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo Abakus,
> < 2 Dreiecke sind kongruent, wenn sie in 2 Seiten (davon
> < eine gr. Seite S u. eine kl Seite) u. einem Winkel
> < übereinstimmen (der nicht zwisch. den beiden Seiten
> < liegt, d.h. der der größeren gegeb. Seite
> gegenüberliegt).
> ja, ok, klar.
> <Wenn also v. einem Dreieck 2 Seiten u. ein Winkel gegeb.
> <sind, der NICHT zwischen diesen beiden Seiten liegt,
> <dann ist das Dreieck eindeutig konstruierbar, wenn der
> Winkel
> <der größeren Seite gegenüberliegt.
>
> Es geht nun um die beiden Worte eindeutig konstruierbar.
> Ich hatte mich ursprünglich immer gefragt, was bei diesen
> 4 Sätzen das Kongruente ist.
> Bei allen Dreieckskonstruktionen, die diese 4 Fälle
> betreffen kann ich meine Eckpunkte A, B u. C einmal im pos.
> Umlaufsinn u. ein anderes mal im neg. Umlaufsinn zeichnen.
> Ein Dreiecks-Paar ist so immer kongruent.
> Ich dachte das wäre es.
> Gleiches gilt auch für SSW u. auch für SsW
> Auch der Sonderfall ist eindeutig konstruierbar, wenn ich
> die Strecke AB als g = Grundlinie/Waagerechte so auf s
> Papier lege kann ich C einmal nach oben u. einmal nach
> unten zeichnen. Beide Dreiecke sind kongruent.
> Meint das das Kongruente dieser 4 Kongruenz-Sätze?
> <dann ist das Dreieck eindeutig konstruierbar, wenn der
> Winkel
> <der größeren Seite gegenüberliegt.
> Es ist doch auch eindeutig konstruierbar, wenn die beiden
> gegeb. Seiten gleich lang sind (unser Sonderfall)
> Oder wie jetzt?
> Außer dass die tangentiale Berührg. meines Zirkelkreises
> an der gegenüberliegenden Geraden (Sonderfall) ziemlich
> groß ist, d.h. dieser Pkt. zeichnerisch nicht so eindeutig
> ist, ob ich ihn hierhin setze oder 1-2 mm weiter. Aber das
> kann ja wohl nicht das Probl. sein.
> Für Klärung vielen DANK
Hallo,
die 4 allseits bekannten Kongruenzsätze geben nur an, bei welchen Übereinstimmungen in 3 Stücken zwei mit diesen Stücken konstruierten Dreiecke kongruent sein MÜSSEN.
Das schließt aber nicht aus, dass die Dreiecke nicht auch bei anderen gegebenen Stücken kongruent sein KÖNNEN (wie z.B in unserem Sonderfall).
Wenn du das willst, können wir gern dafür einen 5. Kongruenzsatz "erfinden": "Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie übereinstimmen in zwei Seiten und dem der kleineren Seite gegebüberliegenden Winkel, und wenn die kleinere Seite gerade so groß ist, dass ein Kreis um den Endpunkt der längeren Seite mir dem Radius der kürzeren Seitenlänge den freien Schenkel des gegebenen Winkels in genau einem Punkt berührt."
Dieser "Satz" ist aber ein solches Ungetüm und der beschriebene Sonderfall kommt so selten vor, dass wir die mathematische Fachwelt lieber damit verschonen.
Gruß Abakus
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