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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:05 Do 04.04.2013 | | Autor: | Mexxchen |
| Aufgabe | | Charakterisieren Sie die Primzahlen p > 5, sodass die Kongruenz [mm] x^2 [/mm] + 5 [mm] \equiv [/mm] 0 mod p in [mm] \IZ [/mm] lösbar ist durch eine geeignete Kongruenzbedingung an p. |
Hallo,
ich habe Schwierigkeiten mit dieser Aufgabe und momentan noch keine Idee, um die Aufgabe zu lösen. Ich habe mir schon überlegt, die Aufgabe mit dem Chinesischen Restsatz zu lösen, bin dann aber nicht mehr weitergekommen. Ich bin also für jeden Tipp dankbar.
Viele Grüße
Mexxchen
Ich habe diese Aufgabe in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo,
die Aufgabe lässt sich relativ leicht mit Hilfe des Legendre/Jacobi-Symbols bearbeiten. Ist das bekannt?
Bin etwas verwirrt aufgrund des Unterforums in dem die Aufgabe steht.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:50 Fr 05.04.2013 | | Autor: | Mexxchen |
Danke. Das Legendre-Symbol kenne ich bereits. Da in dieser Aufgabe 5 eine ungerade Primzahl ist, ist die Kongruenz lösbar. Und 5 ist ein quadratischer Rest. Dann müsste es so aussehen: 5 [mm] \equiv [/mm] 0 mod p --> (5/p) = (0/p). Stimmt das dann so?
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Hallo Mexxchen,
Dein Vorschlag geht an der Aufgabe vorbei.
> Danke. Das Legendre-Symbol kenne ich bereits. Da in dieser
> Aufgabe 5 eine ungerade Primzahl ist,
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") Diese Frage stellt sich doch gar nicht.
> ist die Kongruenz
> lösbar. Und 5 ist ein quadratischer Rest. Dann müsste es
> so aussehen: 5 [mm]\equiv[/mm] 0 mod p
Auch dies hat mit der Aufgabe nichts zu tun. Diese Kongruenz ist nur für $p=5$ erfüllt. Zu betrachten sind aber Primzahlen >5.
Die Frage ist doch: ist -5 ein quadratischer Rest [mm] \mod{p}
[/mm]
Ich würde hier eher direkt mit dem ![[]](/images/popup.gif) Eulerschen Kriterium (genau lesen!) arbeiten, also
[mm] (-5)^{\bruch{p-1}{2}}\equiv 1\mod{p}
[/mm]
Lies am besten auch noch den Wiki-Artikel über quadratische Reste.
> --> (5/p) = (0/p). Stimmt das
> dann so?
Nein, bestimmt nicht. Wenn Du das schon mit dem Legendre-Symbol schreiben willst, dann so:
[mm] \left(\bruch{-5}{p}\right)=1
[/mm]
Das ist aber eben nur eine Kurzschreibweise für die vorgegebene Äquivalenz. Gefordert war eine "geeignete Kongruenzbedingung", und das ist die oben gegebene eulersche.
Grüße
reverend
PS: Alle Primzahlen $5<p<100$, die die Bedingung erfüllen, sind diese: $7,23,29,41,43,47,61,67,83,89$.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:44 Fr 05.04.2013 | | Autor: | Mexxchen |
Super. Vielen, vielen Dank. Ich hab mir die zwei Artikel auf Wikipedia durchgelesen und verstehe jetzt viel mehr. Ich hätte nur noch zwei Rückfragen.
> Die Frage ist doch: ist -5 ein quadratischer Rest
Das entsteht dadurch, dass man die 5 auf die andere Seite bringt, oder?
Die 1 kommt daher, dass es ein quadratischer Rest sein muss?
$ [mm] (-5)^{\bruch{p-1}{2}}\equiv 1\mod{p} [/mm] $
Und eine letzte Frage: Wie bist du denn so schnell auf die Primzahlen gekommen, für die das gilt?
Viele Grüße
Mexxchen
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Hallo nochmal,
> Super. Vielen, vielen Dank. Ich hab mir die zwei Artikel
> auf Wikipedia durchgelesen und verstehe jetzt viel mehr.
> Ich hätte nur noch zwei Rückfragen.
>
> > Die Frage ist doch: ist -5 ein quadratischer Rest
>
> Das entsteht dadurch, dass man die 5 auf die andere Seite
> bringt, oder?
Ja, genau.
> Die 1 kommt daher, dass es ein quadratischer Rest sein
> muss?
>
> [mm](-5)^{\bruch{p-1}{2}}\equiv 1\mod{p}[/mm]
Ja, das ist der Grund.
> Und eine letzte Frage: Wie bist du denn so schnell auf die
> Primzahlen gekommen, für die das gilt?
Ich habs einfach nachgerechnet. 
Grüße
reverend
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