Kongruenzen < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:31 Sa 12.01.2008 | | Autor: | Lee1601 |
| Aufgabe | (p-1)!=(p-1)(p-2)! [mm] \equiv [/mm] (p-1) mod. p [mm] \equiv [/mm] -1 mod. p
mit p Primzahl
|
Hallo an alle!
Wer kann mir die obige Rechnung erklären?
Der 1. und der letzte Schritt sind klar. Aber warum ist (p-1)(p-2)! kongruent (p-1) mod. p??
Vielen Dank schonmal!
lg lee
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:11 Sa 12.01.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo lee
> (p-1)!=(p-1)(p-2)! [mm]\equiv[/mm] (p-1) mod. p [mm]\equiv[/mm] -1 mod. p
> mit p Primzahl
>
> Hallo an alle!
>
> Wer kann mir die obige Rechnung erklären?
> Der 1. und der letzte Schritt sind klar. Aber warum ist
> (p-1)(p-2)! kongruent (p-1) mod. p??
Das ist im Prinzip der Satz von Wilson (so wird die Aussage $(p - 1)! [mm] \equiv [/mm] -1 [mm] \pmod{p}$ [/mm] genannt).
Um $(p - 2)! [mm] \equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{p}$ [/mm] zu zeigen, betrachte das wie folgt: $(p - 2)! [mm] \mod{p}$ [/mm] ist ja das Produkt aller Elemente ausser $-1$ in der Einheitengruppe von $G = [mm] (\IZ/p\IZ)^\star$. [/mm] In $G$ sind die einzigen beiden Elemente $x$ mit [mm] $x^{-1} [/mm] = x$ gerade $1$ und $-1$. Du nimmst also das Produkt ueber alle Elemente [mm] $\neq [/mm] 1$ (wenn du das weglaesst aendert sich das Produkt nicht) und [mm] $\neq [/mm] -1$. Jetzt kannst du das Produkt so umordnen (da die Gruppe abelsch ist), dass jedes Element neben seinem Inversen steht. Damit siehst du dann, dass das Produkt gerade 1 ist.
LG Felix
|
|
|
|
