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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:50 Di 24.06.2008 | | Autor: | jura |
| Aufgabe | Ermitteln Sie die Lösungsmengen folgender Kongruenz:
21x [mm] \equiv [/mm] 35 (77) |
als lösungen erhalte ich [mm] x_1=9 [/mm] (77), [mm] x_2= [/mm] 20 [mm] (77)......x_7=75 [/mm] (77)
stimmt das?
und ich verstehe ehrlich gesagt noch nicht so ganz, was diese lösungen bedeuten- wo und wie kann ich sie einsetzen?
danke für erklärungen und hilfe....gruß
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> Ermitteln Sie die Lösungsmengen folgender Kongruenz:
> 21x [mm]\equiv[/mm] 35 (77)
> als lösungen erhalte ich [mm]x_1=9[/mm] (77), [mm]x_2=[/mm] 20
> [mm](77)......x_7=75[/mm] (77)
>
> stimmt das?
> und ich verstehe ehrlich gesagt noch nicht so ganz, was
> diese lösungen bedeuten
Hallo,
das sagt Dir, daß sämtliche ganzen Zahlen, die die Gestalt
k*77+9 oder k*77+20 oder ... oder k*77+75
haben, die obige Konguenz lösen.
Welche Zahlen [mm] x_2 [/mm] sind das, für welche [mm] x_2\equiv [/mm] 20 (77) gilt?
Alle Zahlen, die man schreiben kann als [mm] x_2=k*77+20 [/mm] mit [mm] k\in \IZ, [/mm] also ..., -211, -134, -57, 20, 97, 174 ...,
für die anderen Lösungen entsprechend.
> - wo und wie kann ich sie
> einsetzen?
In Deine Kongruenz 21x $ [mm] \equiv [/mm] $ 35 (77) .
Wir hatten ja oben fstgestellt, daß x=97 eine Lösung der Kongruenz ist.
Das prüfen wir jetzt nach:
21*97=2037=26*77+35, also ist [mm] 21*97\equiv [/mm] $ 35 (77).
Du kannst Deine Lösungen übrigens auch etwas übersichtlicher aufschreiben: sämtliche x mit [mm] x\equiv [/mm] 9 (11) lösen Deine Kongruenz.
Prüf's nach!
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:53 Di 24.06.2008 | | Autor: | jura |
ok, vielen dank- einige sachen hab ich nun verstanden- manches is mir leider noch etwas unklar....
> Hallo,
>
> das sagt Dir, daß sämtliche ganzen Zahlen, die die Gestalt
>
> k*77+9 oder k*77+20 oder ... oder k*77+75
>
> haben, die obige Konguenz lösen.
>
>
> Welche Zahlen [mm]x_2[/mm] sind das, für welche [mm]x_2\equiv[/mm] 20 (77)
> gilt?
>
> Alle Zahlen, die man schreiben kann als [mm]x_2=k*77+20[/mm] mit
> [mm]k\in \IZ,[/mm] also ..., -211, -134, -57, 20, 97, 174 ...,
ich kann nicht ganz nachvollziehen, wie man auf diese schreibweise kommt?!
>
> für die anderen Lösungen entsprechend.
>
>
> > - wo und wie kann ich sie
> > einsetzen?
>
> In Deine Kongruenz 21x [mm]\equiv[/mm] 35 (77) .
>
> Wir hatten ja oben fstgestellt, daß x=97 eine Lösung der
> Kongruenz ist.
>
> Das prüfen wir jetzt nach:
>
> 21*97=2037=26*77+35, also ist [mm]21*97\equiv[/mm] $ 35 (77).
und die 26 in der obigen gleichung? die muss man sich berechnen, oder- so dass eben eine wahre aussage folgt?
>
>
> Du kannst Deine Lösungen übrigens auch etwas
> übersichtlicher aufschreiben: sämtliche x mit [mm]x\equiv[/mm] 9
> (11) lösen Deine Kongruenz.
leuchtet einerseits ein- aber andererseits soll man ja auch immer zeigen, wieviele lösungen es gibt: nämlich entsprechend dem ggt: hier also 7 lösungen.
>
> Prüf's nach!
>
> Gruß v. Angela
besten dank nochmal, gruß zurück!
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> > Welche Zahlen [mm]x_2[/mm] sind das, für welche [mm]x_2\equiv[/mm] 20 (77)
> > gilt?
> >
> > Alle Zahlen, die man schreiben kann als [mm]x_2=k*77+20[/mm] mit
> > [mm]k\in \IZ,[/mm] also ..., -211, -134, -57, 20, 97, 174 ...,
>
>
> ich kann nicht ganz nachvollziehen, wie man auf diese
> schreibweise kommt?!
Hallo,
das scheint mir daran zu liegen, daß Du überhaupt nicht weißt, was "kongruent modulo irgendwas " bedeutet.
Zwei Zahlen sind kongruent modulo einer Zahl m, wenn sie bei Division durch m denselben Rest lassen.
Wenn Du Dich für die Zahlen interessierst, die modulo 77 kongruent zur 20 sind, so sind dies all die Zahlen, die bei Division durch 77 den Rest 20 lassen.
Und das sind doch gerade die Zahlen, die man als Viellfaches von 77 plus 20 schreiben kann.
Das habe ich oben getan.
> > Wir hatten ja oben festgestellt, daß x=97 eine Lösung der
> > Kongruenz ist.
> >
> > Das prüfen wir jetzt nach:
> >
> > 21*97=2037=26*77+35, also ist [mm]21*97\equiv[/mm] $ 35 (77).
>
> und die 26 in der obigen gleichung? die muss man sich
> berechnen, oder- so dass eben eine wahre aussage folgt?
Die 26 habe ich mir berechnet. Ich habe so gesehen, daß 21*97=26*77+35, also ist 21*97 kongruent zu 35 (modulo 77 gerechnet).
> leuchtet einerseits ein- aber andererseits soll man ja auch
> immer zeigen, wieviele lösungen es gibt: nämlich
> entsprechend dem ggt: hier also 7 lösungen.
In der Tat gibt es 7 Restklassen modulo 77, deren Elemente die Gleichung lösen.
Alle ganzen Zahlen, die bei Division durch 77 den Rest 9, 20, 31, 42, 53, 64 oder 75 lassen, lösen die Gleichung.
Und das sind genau die Zahlen, die in der Restlasse von 9 modulo 11 liegen, die also bei Division durch 11 den Rest 9 lassen.
das kannst Du nachrechnen, oder zumindest solltest Du Dich durch Betrachtung einiger Beispiel davon überzeugen.
Wir haben hier Verbindung aufgenommen mit abakus' Aussage (schau sie Dir nochmal an) aus dem anderen Thread, die Sache mit der Division:
[mm] 21x\equiv35 [/mm] (77) <==> [mm] 3*7x\equiv [/mm] 5*7 (77) <==> [mm] 3x\equiv [/mm] 5 (11) <==> [mm] 4*3x\equiv [/mm] 4*5 (11) <==> 1x [mm] \equiv [/mm] 9 (11)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:52 Do 26.06.2008 | | Autor: | jura |
ja, danke nochmal für alles- ich hab es mir nun nochmal alles selbst aufgeschrieben und durchgerechnet und so endlich auch verstanden denk ich!
nur wie immer hakts noch irgendwo: in deiner allerletzten rechnung: wie kommst du am ende auf die 4??
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> nur wie immer hakts noch irgendwo: in deiner allerletzten
> rechnung: wie kommst du am ende auf die 4??
Hallo,
unter dem Eingabefenster gibt's den Zitierbuttton, und dessen Verwendung wäre doch manchmal angebracht.
Falls Du dieselbe 4 meinst wie ich: ich habe mir überlegt, daß die 4 das Inverse zu 3 ist, wenn man modulo 11 rechnet, und ich wollte ja das x freistellen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:53 Do 26.06.2008 | | Autor: | jura |
ne, is gut, habe die 4 verstanden! man kann dann "kürzen".
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