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Forum "Zahlentheorie" - Kongruenzen mod p
Kongruenzen mod p < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Kongruenzen mod p: Übung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:05 Mi 10.06.2015
Autor: AragornII

Aufgabe
Charakterisieren Sie mittels Kongruenzen die Primzahlen p, für die
[mm] $x^2+x+1 \equiv [/mm] 0$ mod p  nicht lösbar ist.

Guten Tag,

ich habe mal per Wolfram Alpha die Kongruenz überprüft.

Zum Beispiel gibt es für $p=5,9,17,...$ keine Lösung.
aber wie rechne ich diese aus ohne ein Rechner zu benutzen?


LG

        
Bezug
Kongruenzen mod p: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:28 Mi 10.06.2015
Autor: hippias


> Charakterisieren Sie mittels Kongruenzen die Primzahlen p,
> für die
>  [mm]x^2+x+1 \equiv 0[/mm] mod p  nicht lösbar ist.
>  Guten Tag,
>
> ich habe mal per Wolfram Alpha die Kongruenz überprüft.
>  
> Zum Beispiel gibt es für [mm]p=5,9,17,...[/mm] keine Lösung.
>  aber wie rechne ich diese aus ohne ein Rechner zu
> benutzen?

Mein Vorschlag: Es liegt eine quadratische Gleichung vor. Loese diese hier so, wie sonst auch loesen wuerdest. Daran kannst Du erkennen, unter welchen Voraussetzungen Loesungen existieren oder nicht - naemlich dann, wenn deine Rechnung [mm] $\mod [/mm] p$ durchfuehrbar ist.
$9$ ist uebrigens keine Primzahl

>  
>
> LG


Bezug
                
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Kongruenzen mod p: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:53 Mi 10.06.2015
Autor: abakus

Hallo, 
nur eine Ergänzung:
x²+x+1 ist für jede ganze Zahl x ungerade, somit funktioniert das auch nicht mod 2.

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Kongruenzen mod p: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:07 Do 11.06.2015
Autor: hippias

Noch eine kleine Ergaenzung: Meine urspruenglicher Tip benoetigt vielleicht Saetze, die ihr noch nicht besprochen habt. Daher gebe ich noch den Tip "geometrische Reihe", um das Problem in ein handlicheres umzuwandeln.

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Kongruenzen mod p: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:21 Mi 10.06.2015
Autor: reverend

Hallo AragornII,

> Charakterisieren Sie mittels Kongruenzen die Primzahlen p,
> für die
>  [mm]x^2+x+1 \equiv 0[/mm] mod p  nicht lösbar ist.

Versuchs mal rückwärts.
Die Antwort lautet: für [mm] p\equiv 1\bmod{6} [/mm] ist die Kongruenz lösbar, für [mm] p\equiv -1\bmod{6} [/mm] nicht.

Grüße
reverend

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Kongruenzen mod p: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:39 Do 11.06.2015
Autor: hippias

Im Fall $p=3$ ist sie aber auch loesbar.

Bezug
                        
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Kongruenzen mod p: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:51 Do 11.06.2015
Autor: reverend

Hallo hippias,

> Im Fall [mm]p=3[/mm] ist sie aber auch loesbar.

Ja, klar. p=2 und p=3 sollte man immer separat untersuchen, weil sie eben nicht in die Klassen [mm] p\equiv\pm 1\bmod{6} [/mm] fallen.

Grüße
reverend


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