Kongruenzen mod p² < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:39 Sa 13.06.2009 | | Autor: | Fry |
Hallo,
in einem Skript hab ich Folgendes gefunden, was ich nicht so verstehe.
Da gewisse Terme für das Verständnis irrelevant sind, hab ich sie durch die Buchstaben [mm] a,b,c\in \IQ [/mm] ersetzt.Wichtig zu wissen ist nur, [mm] dass\bruch{c}{p+1}\equiv \bruch{1}{12} [/mm] mod p.
Erinnerung:
[mm] r\equiv [/mm] s mod p bedeutet für [mm] r,s\in\IQ,p\in\IP, [/mm] dass der gekürzte Bruch von r-s durch p teilbar ist.
Im folgenden sei p>2.
...
[mm] \Rightarrow a\equiv [/mm] b + [mm] \bruch{12c-(p+1)}{p+1} [/mm] mod p² mod p²
In dieser Gleichung sind a und b kongruent mod p. Nach ein paar leichten Umformung erhält man daraus:
[mm] \bruch{12c-(p+1)}{p+1}\equiv [/mm] 12c-(p+1) mod p²
Wie kommt bitte von mod p auf mod p² ?
Wie schauen wohl diese einfachen Umformungen aus?
Komme da nicht weiter, wäre für eure Hilfe dankbar.
LG
Fry
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:55 Sa 13.06.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> in einem Skript hab ich Folgendes gefunden, was ich nicht
> so verstehe.
> Da gewisse Terme für das Verständnis irrelevant sind, hab
> ich sie durch die Buchstaben [mm]a,b,c\in \IQ[/mm] ersetzt.Wichtig
> zu wissen ist nur, [mm]dass\bruch{c}{p+1}\equiv \bruch{1}{12}[/mm]
> mod p.
Dies sagt ja grad $12 c - (p + 1) [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{p}$.
[/mm]
> Erinnerung:
> [mm]r\equiv[/mm] s mod p bedeutet für [mm]r,s\in\IQ,p\in\IP,[/mm] dass der
> gekürzte Bruch von r-s durch p teilbar ist.
Du meinst, dass der Zaehler durch $p$ teilbar ist, oder?
> Im folgenden sei p>2.
> ...
> [mm]\Rightarrow a\equiv[/mm] b + [mm]\bruch{12c-(p+1)}{p+1}[/mm] mod p² mod
> p²
> In dieser Gleichung sind a und b kongruent mod p. Nach
> ein paar leichten Umformung erhält man daraus:
>
> [mm]\bruch{12c-(p+1)}{p+1}\equiv[/mm] 12c-(p+1) mod p²
>
> Wie kommt bitte von mod p auf mod p² ?
Das erhaelt man nicht aus dieser Gleichung, sondern bereits aus $12 c - (p + 1) [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{p}$. [/mm] Dies bedeutet ja, dass $12 c - (p + 1) = [mm] \frac{p x}{y}$ [/mm] ist mit $x, y [mm] \in \IZ$, [/mm] wobei $p [mm] \nmid [/mm] y$.
Also gilt [mm] $\frac{12 c - (p + 1)}{p + 1} [/mm] - (12 c - (p + 1)) = [mm] (\frac{1}{p + 1} [/mm] - 1) [mm] \frac{p x}{y} [/mm] = [mm] \frac{1 - (p + 1)}{p + 1} \cdot \frac{p x}{y} [/mm] = [mm] -\frac{p^2 x}{(p + 1) y}$, [/mm] und $p$ teilt nicht $(p + 1) y$, womit selbst nach Kuerzen immer noch ein Faktor von [mm] $p^2$ [/mm] im Zaehler steht.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:03 Sa 13.06.2009 | | Autor: | Fry |
Hey Felix,
danke für deine (blitzschnelle) Antwort
you´re the best :)
VG
Christian
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