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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:10 So 26.01.2014 | | Autor: | hubi92 |
| Aufgabe | Zeigen Sie mit Hilfe der Kongruenzrechnung:
Sei a=(a(n)a(n-1)...a1a0)5 eine natürliche zahl im 5er-System.
z.z.: a besitzt bei Division durch 3 denselben Rest wie die alternierende Quersumme. |
Hallo ihr Lieben!
ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter und hoffe, dass ihr mir helfen könnt!
Mein Ansatz:
Es gilt: 5≡2 (mod 3) und 5²≡2*2≡2 (mod 3) usw.
damit folgt: [mm] a=(a(n)a(n-1)...a1a0)5=a0+a1*5+a2*5²+...+an*5^n≡ [/mm] Quersumme (mod3)
jetzt weiß ich nicht, wie man die quersumme richtig aufschreibt ..
und ob der ansatz überhaupt richtig ist...
Vielen Dank für eure Hilfe! LG
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Hallo hubi,
> Zeigen Sie mit Hilfe der Kongruenzrechnung:
> Sei a=(a(n)a(n-1)...a1a0)5 eine natürliche zahl im
> 5er-System.
Hm. Vielleicht [mm] a=(a_na_{n-1}\cdots a_1a_0)_5 [/mm] ?
> z.z.: a besitzt bei Division durch 3 denselben Rest wie
> die alternierende Quersumme.
> Hallo ihr Lieben!
> ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter und hoffe, dass
> ihr mir helfen könnt!
>
> Mein Ansatz:
>
> Es gilt: 5≡2 (mod 3) und 5²≡2*2≡2 (mod 3) usw.
[mm] 5^2\equiv 2*2\equiv \blue{1}\bmod{3} [/mm] !
> damit folgt:
> [mm]a=(a(n)a(n-1)...a1a0)5=a0+a1*5+a2*5²+...+an*5^n≡[/mm]
> Quersumme (mod3)
Für die Quersumme sind die Stellenwerte doch unerheblich.
> jetzt weiß ich nicht, wie man die quersumme richtig
> aufschreibt ..
Sollst Du auch gar nicht. Du sollst die alternierende Quersumme aufschreiben. Die "normale" Quersumme würde hier nur Auskunft über den Rest [mm] \bmod{4} [/mm] geben, somit auch über den Rest [mm] \bmod{2}, [/mm] aber eben nicht über den Rest [mm] \bmod{3}, [/mm] was aber gerade zu zeigen ist.
> und ob der ansatz überhaupt richtig ist...
Bisher nicht.
Im Dezimalsystem gibt die alternierende Quersumme Auskunft über die Teilbarkeit durch 11.
Beispiel: 95061487 ist nicht durch 11 teilbar. Die alternierende Quersumme ist [mm] 9-5+0-6+1-4+8-7=-4\not\equiv 0\bmod{11}.
[/mm]
95061483 dagegen ist durch 11 teilbar: [mm] 9-5+0-6+1-4+8-3=0\equiv 0\bmod{11}
[/mm]
Soviel als Anstoß. Und jetzt mal zurück zu Deiner Aufgabe [mm] \bmod{5}.
[/mm]
> Vielen Dank für eure Hilfe! LG
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 So 26.01.2014 | | Autor: | hubi92 |
Hallo reverend,
Danke für deine Hilfe!
>Hm. Vielleicht $ [mm] a=(a_na_{n-1}\cdots a_1a_0)_5 [/mm] $ ?
genau das meinte ich, ich wusste nur leider nicht, wie man das genau aufschreibt auf dem laptop...
> Für die Quersumme sind die Stellenwerte doch unerheblich.
ich habe mich leider verschrieben, meinte auch alternierende quersumme.. sry
wie man die alternierende quersumme ausrechnet weiß ich.. nur weiß ich halt nicht, wie man diese auf diese kongruenzrechnung bezieht.
also ich müsste doch eig schreiben, dass
5≡2 (mod3) und auch die alternierende quersumme ≡ .. (mod 3)
und dann diese beiden rechnungen in bezug zu einander setzen?
ich kanns grad nicht so gut erklären, verstehst du meinen ansatz denn?
>Soviel als Anstoß. Und jetzt mal zurück zu Deiner Aufgabe $ [mm] \bmod{5}. [/mm] $
wieso denn mod 5?
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Hallo nochmal,
Du hast natürlich Recht.
> > Soviel als Anstoß. Und jetzt mal zurück zu Deiner
> > Aufgabe [mm]\bmod{5}.[/mm]
> wieso denn mod 5?
Sorry. 5-adisch [mm] \bmod{3} [/mm] natürlich.
> >Hm. Vielleicht [mm]a=(a_na_{n-1}\cdots a_1a_0)_5[/mm] ?
> genau das meinte ich, ich wusste nur leider nicht, wie
> man das genau aufschreibt auf dem laptop...
So wie auf jedem anderen Rechner. 
> > Für die Quersumme sind die Stellenwerte doch unerheblich.
> ich habe mich leider verschrieben, meinte auch
> alternierende quersumme.. sry
>
> wie man die alternierende quersumme ausrechnet weiß ich..
> nur weiß ich halt nicht, wie man diese auf diese
> kongruenzrechnung bezieht.
>
> also ich müsste doch eig schreiben, dass
>
> 5≡2 (mod3) und auch die alternierende quersumme ≡ ..
> (mod 3)
> und dann diese beiden rechnungen in bezug zu einander
> setzen?
Ja.
> ich kanns grad nicht so gut erklären, verstehst du meinen
> ansatz denn?
Ja, schon.
Vielleicht hilft Dir ja das Aufschreiben. Ich nehme HJKweseleits guten Tipp gleich mit:
[mm] a=(a_na_{n-1}\dots a_1a_0)_{_5}=\summe_{k=0}^{n}a_k*5^k
[/mm]
Alternierende Quersumme:
[mm] Q_{alt}(a)=\summe_{k=0}^{n}(-1)^k*a_k
[/mm]
Wegen [mm] 5^{2m}\equiv 1\bmod{3} [/mm] und [mm] 5^{2m+1}\equiv -1\bmod{3} [/mm] für [mm] m\in\IN_0 [/mm] folgt zusammengefasst [mm] 5^k\equiv (-1)^k\bmod{3} [/mm] für [mm] k\in\IN_0 [/mm] und damit
[mm] Q_{alt}(a)\bmod{3}=\summe_{k=0}^{n}\left((-1)^k*a_k\bmod{3}\right)=\left(\summe_{k=0}^{n}(-1)^k*a_k\right)\;\bmod{3}
[/mm]
So, wenn Du das alles verstanden hast, bist Du eigentlich fertig. 
Grüße
reverend
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> Zeigen Sie mit Hilfe der Kongruenzrechnung:
> Sei a=(a(n)a(n-1)...a1a0)5 eine natürliche zahl im
> 5er-System.
> z.z.: a besitzt bei Division durch 3 denselben Rest wie
> die alternierende Quersumme.
> Hallo ihr Lieben!
> ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter und hoffe, dass
> ihr mir helfen könnt!
>
> Mein Ansatz:
>
> Es gilt: 5≡2 (mod 3) und 5²≡2*2≡2 (mod 3) usw.
allgemeiner: [mm] 5^{2n}=(5^2)^n=25^n\equiv(1 [/mm] mod [mm] 3)^n =1^n [/mm] mod 3 = 1 mod 3
und [mm] 5^{2n+1}=5*(5^2)^n=5*25^n\equiv(1 [/mm] mod [mm] 3)^n =2*1^n [/mm] mod 3 = 2 mod 3 = -1 mod 3, und diese -1 ist der springende Punkt.
>
> damit folgt:
> [mm]a=(a(n)a(n-1)...a1a0)5=a0+a1*5+a2*5²+...+an*5^n≡[/mm]
> Quersumme (mod3)
>
> jetzt weiß ich nicht, wie man die quersumme richtig
> aufschreibt ..
> und ob der ansatz überhaupt richtig ist...
> Vielen Dank für eure Hilfe! LG
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 So 26.01.2014 | | Autor: | hubi92 |
Hallo HJKweseleit,
Vielen DAnk für deine Hilfe!
> > Mein Ansatz:
> >
> > Es gilt: 5≡2 (mod 3) und 5²≡2*2≡2 (mod 3) usw.
>
>
> allgemeiner: [mm]5^{2n}=(5^2)^n=25^n\equiv(1[/mm] mod [mm]3)^n =1^n[/mm] mod
> 3 = 1 mod 3
>
> und [mm]5^{2n+1}=5*(5^2)^n=5*25^n\equiv(1[/mm] mod [mm]3)^n =2*1^n[/mm] mod 3
> = 2 mod 3 = -1 mod 3, und diese -1 ist der springende
> Punkt.
Wie kommst du denn genau darauf? also wieso erweiterst du genau so? und warum ist -1 der springende punkt? ich verstehe leider den zusammenhang mit zwischen deiner kongruenzrechnung und der alternierenden quersumme nicht. Könntest du mir das noch genau erklären?
Vielen lieben Dank!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:52 So 26.01.2014 | | Autor: | abakus |
> Hallo HJKweseleit,
> Vielen DAnk für deine Hilfe!
>
> > > Mein Ansatz:
> > >
> > > Es gilt: 5≡2 (mod 3) und 5²≡2*2≡2 (mod 3) usw.
> >
> >
> > allgemeiner: [mm]5^{2n}=(5^2)^n=25^n\equiv(1[/mm] mod [mm]3)^n =1^n[/mm] mod
> > 3 = 1 mod 3
> >
> > und [mm]5^{2n+1}=5*(5^2)^n=5*25^n\equiv(1[/mm] mod [mm]3)^n =2*1^n[/mm] mod 3
> > = 2 mod 3 = -1 mod 3, und diese -1 ist der springende
> > Punkt.
>
> Wie kommst du denn genau darauf? also wieso erweiterst du
> genau so? und warum ist -1 der springende punkt? ich
Aus Potenzen von -1 wird abwechselnd 1 und -1.
> verstehe leider den zusammenhang mit zwischen deiner
> kongruenzrechnung und der alternierenden quersumme nicht.
> Könntest du mir das noch genau erklären?
> Vielen lieben Dank!
>
Hallo,
es gilt
[mm]1\equiv 1 mod 3[/mm]
[mm]5\equiv -1 mod 3[/mm]
[mm]5^2\equiv 1 mod 3[/mm]
[mm]5^3\equiv -1 mod 3[/mm]
[mm]5^4\equiv 1 mod 3[/mm]
[mm]5^5\equiv -1 mod 3[/mm]
usw.
Daraus folgt durch beidseitige Multiplikation mit [mm]a_0[/mm] bzw. [mm]a_1[/mm] bzw. [mm]a_2[/mm] usw.
[mm]a_0*1\equiv 1*a_0 mod 3[/mm]
[mm]a_1*5\equiv -1*a_1 mod 3[/mm]
[mm]a_2*5^2\equiv 1*a_2 mod 3[/mm]
[mm]a_3*5^3\equiv -1*a_3 mod 3[/mm]
[mm]a_4*5^4\equiv 1*a4 mod 3[/mm]
[mm]a_5*5^5\equiv -1*a_5 mod 3[/mm]
...
Dann ist auch die Summe aller linken Terme (=Darstellung einer Zahl im Fünfersystem) kongruent zur Summe aller rechten Terme (=alternierende Quersumme).
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:53 So 26.01.2014 | | Autor: | hubi92 |
Okay jetzt hab ichs verstanden!! Vielen lieben Dank =))
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