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Hallo!
Ich hab ein Riesenproblem, ich soll zeigen, dass für zwei komplexe zahlen z1 und z2 stehts
----- = --- ---
z1*z2 = z1 * z2
gilt.
ich wurschtel da schon seit tagen rum und komme irgendwie nicht drauf!
Kann mir jemadn helfen?
Vielen dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:24 Sa 30.10.2004 | | Autor: | andreas |
hi Christinchen
das ist wirklich nur ausrechnen. das einzige was man benötigt ist die definition der multiplikation zweier komplexer zahlen, so wie die der konjugation.
sei [m] z_1 = (x_1, y_1), \, z_2 = (x_2, y_2) \in \mathbb{C} [/m]. dann gilt:
[m] \overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{(x_1, y_1) \cdot (x_2, y_2)} = \overline{(x_1x_2 - y_1y_2, x_1y_2 + x_2y_1)} = (x_1x_2 - y_1y_2, - x_1y_2 - x_2y_1) [/m]
jetzt berechnen andereseits mal [m] \overline{z_1} \cdot \overline{z_2} [/m] und vergeliche mit dem ende der letzten zeile und du wirst sehen, dass das selbe herauskommt.
oder sind dir die definitionen nich klar?
wenn du nicht weiterkommen solltest, melde dich nochmal.
grüße
andreas
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Hallo
also beim ersten Teil habe ich das so gemacht! Das Problem ist der zweite :o)
[mm] \overline{z_1*z_2}
= \left( x_1+y_1*i \right)*\left( x_2+y_2*i \right)
= ac + ad*i + bc*i + bd*i^2
= ac + ad + bc*i - bd [/mm]
so jetzt habe ich die Zahl in imaginaer und real Teil aufgeteilt:
[mm]ac + ad + bc*i - bd
= ac - bd + i*\left( ad + bc\right) [/mm]
dann habe ich die Zahlen konjugiert:
[mm]ac - bd + i*\left( ad + bc\right)
= ac - bd - i*\left( ad + bc\right) [/mm]
Nun weiß ich aber nicht wie ich den zweiten teil machen muß!
[mm] \overline{z_1}* \overline{z_2}[/mm]
Mir ist schon klar das ich beides einzelnen konjugieren muß und dann muß ich es umformen, damit das gleiche dasteht! Aber wie ??
Danke für die Hilfe
Christinchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:04 So 31.10.2004 | | Autor: | andreas |
hi Christinchen
> [mm]\overline{z_1*z_2}
= \left( x_1+y_1*i \right)*\left( x_2+y_2*i \right)
= ac + ad*i + bc*i + bd*i^2
= ac + ad + bc*i - bd[/mm]
>
>
> so jetzt habe ich die Zahl in imaginaer und real Teil
> aufgeteilt:
>
> [mm]ac + ad + bc*i - bd
= ac - bd + i*\left( ad + bc\right)[/mm]
>
>
> dann habe ich die Zahlen konjugiert:
>
> [mm]ac - bd + i*\left( ad + bc\right)
= ac - bd - i*\left( ad + bc\right) [/mm]
da fehlen zwar ein paar konjugiert-zeichen, aber ich denke das weißt du selbst. das ergebnis stimmt aber, also [m] \overline{z_1 \cdot z_2} = (ac - bd) - i (ad + bc) [/m].
> Nun weiß ich aber nicht wie ich den zweiten teil machen
> muß!
>
> [mm]\overline{z_1}* \overline{z_2}[/mm]
>
> Mir ist schon klar das ich beides einzelnen konjugieren muß
> und dann muß ich es umformen, damit das gleiche dasteht!
> Aber wie ??
also: zuerst konjugieren und dann multiplizieren ergibt: [m] \overline{z_1} \cdot \overline{z_2} = \overline{x_1 + iy_1} \cdot \overline{x_2 + i y_2} = (x_1 - iy_1) \cdot (x_2 - iy_2) [/m]
[m]= x_1 x_2 - ix_1 y_2 - ix_2 y_1 + i^2 y_1 y_2 = x_1 x_2 - y_1 y_2 - i(x_1 y_2 + x_2 y_1) [/m]
und jetzt führe die rechnung mal mit [m] x_1 = a,\; x_2 = b, \; y_1 = c, \; y_2 = d [/m] durch (sorry, mein fehler, ich habe da nicht geschaut, wie du deinen real- bzw. imaginärteil genannt hast) und vergeliche dann das ergebnis mit dem von oben. und?
grüße
andreas
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