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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo, ich hab folgende Lösung für die Aufgabe zur Hand:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Den ersten Schritt, dass der Erwartungswert erwartungstreu asymptoisch ist, ist mir klar. Nur bei der Varianz bin ich nicht so ganz im Klaren. Die Summe müsste folgendes ergeben:
[mm] \summe_{i=1}^{n-1} x_{i}^2 [/mm] = [mm] \bruch{n(n+1)(2n+1)}{6} [/mm] - [mm] n^2
[/mm]
Ich schaffe es nur nicht, die Gleichung so umzustellen, wie es in der Lösung steht. Schon mal Danke im voraus für eure Hilfe.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:51 Mo 21.07.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Wenn ich deine Frage richtig interpretiere, hast du Probleme, die Gleichung
$ [mm] \summe_{i=1}^{n-1} x_{i}^2 [/mm] $ = $ [mm] \bruch{n(n+1)(2n+1)}{6} [/mm] $ - $ [mm] n^2 [/mm] $
herzuleiten.
Dazu nun ein paar Hinweise
Es gilt ja:
[mm] \left(\summe_{i=1}^{n-1} x_{i}^2\right)
[/mm]
[mm] =\left(\summe_{i=1}^{n-1} x_{i}^2\right)+n²-n² [/mm]
[mm] =\left(\summe_{i=1}^{\red{n}} x_{i}^2\right)-n²
[/mm]
Und mit der Summenformel für Quadratzahlen (![[]](/images/popup.gif) Beweis) gilt:
[mm] \summe_{i=1}^{\red{n}} x_{i}^2=\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}
[/mm]
Also:
[mm] \left(\summe_{i=1}^{\red{n}} x_{i}^2\right)-n²
[/mm]
[mm] =\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}-n²
[/mm]
Somit gilt:
[mm] \bruch{4}{(n-1)²*n²}*\sigma^{2}*\left(\summe_{i=1}^{n-1} x_{i}^2\right)+\bruch{1}{n²}*\sigma^{2}
[/mm]
[mm] =\bruch{4}{(n-1)²*n²}*\sigma^{2}*\left(\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}-n²\right)+\bruch{1}{n²}*\sigma^{2}
[/mm]
[mm] =\bruch{4*\sigma^{2}}{(n-1)²*n²}*\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}-\bruch{4*\sigma^{2}}{(n-1)²*n²}*n²+\bruch{1}{n²}*\sigma^{2}
[/mm]
[mm] =\bruch{4*\sigma^{2}*n*(n+1)(2n+1)}{6*(n-1)²*n²}-\bruch{4*\sigma^{2}*n²}{(n-1)²*n²}+\bruch{\sigma^{2}}{n²}
[/mm]
[mm] =\bruch{4*\sigma^{2}*n*(n+1)(2n+1)}{6*(n-1)²*n²}-\bruch{4*\sigma^{2}*n²*\green{6}}{\green{6}(n-1)²*n²}+\bruch{\sigma^{2}}{n²}
[/mm]
[mm] =\bruch{4*\sigma^{2}*n*(n+1)(2n+1)-24\sigma^{2}*n²}{6*(n-1)²*n²}+\bruch{\sigma^{2}}{n²}
[/mm]
Wenn du den Zähler jetzt mal auusfühlrich zusammenfasst und dann in Linearfaktoren zerlegst, kannst du denke ich den Term zum Ergebnis "zusammenkürzen".
Es würde aber auch ausreichen, den Term auf eine Form zu bringen, dessen Grenzwert für [mm] n\to\infty [/mm] Null wird.
Marius
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Hallo, du hast mich leider falsch verstanden. Mein Problem liegt eher da, dass ich die Umformung von deinem letzten Schritt in die Form, wie sie in der Lösung steht, nicht schaffe.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:44 Mo 21.07.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
[mm] =\bruch{4\cdot{}\sigma^{2}\cdot{}n\cdot{}(n+1)(2n+1)-24\sigma^{2}\cdot{}n²}{6\cdot{}(n-1)²\cdot{}n²}+\bruch{\sigma^{2}}{n²}
[/mm]
[mm] =\bruch{4\cdot{}\sigma^{2}\cdot{}(2n²+3n+1)-24\sigma^{2}\cdot{}n²}{6\cdot{}(n²-2n+1)\cdot{}n}+\bruch{\sigma^{2}}{n²}
[/mm]
[mm] =\bruch{\sigma^{2}\cdot{}(-16n²+12n+4)}{6n³-12n²+6n}+\bruch{\sigma^{2}}{n²}
[/mm]
[mm] =\bruch{4\sigma^{2}\cdot{}(-4n²+3n+1)}{6n(n²-2n+1)}+\bruch{\sigma^{2}}{n²}
[/mm]
[mm] =\bruch{4\sigma^{2}\cdot{}(x-1)(x+\bruch{1}{4})}{6n(n-1)(n-1)}+\bruch{\sigma^{2}}{n²}
[/mm]
[mm] =\bruch{4\sigma^{2}(x+\bruch{1}{4})}{6n(n-1)}+\bruch{\sigma^{2}}{n²}
[/mm]
[mm] =\bruch{\sigma^{2}(4x+1)}{6n(n-1)}+\bruch{\sigma^{2}}{n²}
[/mm]
Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:24 Mo 21.07.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin Phil,
habe mal [mm] $\frac{4}{(n-1)^2n^2}\left(\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}-n^2\right)$
[/mm]
mit Mathematica vereinfachen lassen. Erhalte [mm] $\frac{2(2n-1)}{3n(n-1)}$ [/mm] .
An der Schlussfolgerung aendert sich aber nichts.
Moral: Trau keiner Musterloesung, die du nicht selber falsch erstellt hast! 
vg Luis
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