Konstante bestimmen < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei X eine ZV auf WR [mm] (\Omega,\mathfrak{S}, [/mm] P) mit werten in [mm] [1,\infty) [/mm] und der mit einer Konstanten c [mm] \in [/mm] (0, [mm] \infty) [/mm] durch
f(x)= [mm] c*x^{-4} *1_{[1,\infty)} [/mm] (x) , x [mm] \in \IR,
[/mm]
definierten R-Dichte(Riemann). Außerdem sei Y=1/X.
a)Bestimmen Sie c.
b) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion von X
c)Berechnen Sie die Verteilungsfunktion von Y
d) zeigen Sie, das Y eine R-Dichte besitzt. |
Ich hab eigentlich keinen blassen schimmer wie ich die a) berechnen soll und kann dementsprechend auch nicht weiter mit der b oder c oder d
hab die frage im falschen bereich erst gepostet in abi mathe 11-13 wr und nicht hier
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> Sei X eine ZV auf WR [mm](\Omega,\mathfrak{S},[/mm] P) mit werten in
> [mm][1,\infty)[/mm] und der mit einer Konstanten c [mm]\in[/mm] (0, [mm]\infty)[/mm]
> durch
>
> f(x)= [mm]c*x^{-4} *1_{[1,\infty)}[/mm] (x) , x [mm]\in \IR,[/mm]
>
> definierten R-Dichte(Riemann). Außerdem sei Y=1/X.
>
> a)Bestimmen Sie c.
>
> b) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion von X
> c)Berechnen Sie die Verteilungsfunktion von Y
> d) zeigen Sie, das Y eine R-Dichte besitzt.
> Ich hab eigentlich keinen blassen schimmer wie ich die a)
> berechnen soll und kann dementsprechend auch nicht weiter
> mit der b oder c oder d
f ist eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ("pdf") und muss
deshalb die Gleichung
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}f(x)\ [/mm] dx = 1
erfüllen.
Daraus kannst du die Konstante c leicht berechnen.
Die Verteilungsfunktion von X ist dann gegeben durch:
F(x)= [mm] \integral_{-\infty}^{x}f(t)\ [/mm] dt
LG
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ja das weiss ich nur ich weiss nicht genau was das [mm] 1_{[1, \infty} [/mm] machen soll weil das haben wir nicht so gemacht bzw ich hab das noch nie so gesehen und in meinem buch stocastik für einsteiger Henze find ich jetzt auch nix dazu
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> ja das weiss ich nur ich weiss nicht genau was das [mm]1_{[1, \infty}[/mm]
> machen soll weil das haben wir nicht so gemacht bzw ich hab
> das noch nie so gesehen und in meinem buch stocastik für
> einsteiger Henze find ich jetzt auch nix dazu
| Aufgabe | Sei X eine ZV auf WR [mm] (\Omega,\mathfrak{S}, [/mm] P) mit werten in [mm] [1,\infty) [/mm] und der mit einer Konstanten c [mm] \in [/mm] (0, [mm] \infty) [/mm] durch
f(x)= [mm] c*x^{-4} *1_{[1,\infty)} [/mm] (x) , x [mm] \in \IR,
[/mm]
definierten R-Dichte(Riemann). Außerdem sei Y=1/X.
a)Bestimmen Sie c.
b) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion von X
c)Berechnen Sie die Verteilungsfunktion von Y
d) zeigen Sie, das Y eine R-Dichte besitzt. |
Es ist [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}f(x)\ dx=\integral_{1}^{\infty}c*x^{-4}\ [/mm] dx
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bin mir nicht sicher was ich mir hier zusammen reche aber kann das hier sein
[mm] \bruch{-c}{x^3 * 3}]^{\infty}_0 [/mm] =1
c= [mm] -1*3x^3]^{\infty}_0
[/mm]
oder was hab ich da jetzt wider falsch gemacht
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[mm] \integral_{1}^{\infty}c*x^{-4}\ [/mm] dx = [mm] -\bruch{c}{3}\ [/mm] * [mm] x^{-3} \big{|_{_1}^{^{\infty}}} [/mm] = [mm] \bruch{c}{3} [/mm] = 1 [mm] \Rightarrow [/mm] c= 3
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also ist die verteilungsfunktion von
[mm] \int_{- \infty}^{x} 3*x^{-4}\, [/mm] dx
[mm] \int_{- \infty}^{x} -3/3*x^{-3}\, [/mm] dx
(-1)* [mm] 1/x^3 ]_{- \infty}^x
[/mm]
gleich
[mm] F(x)=\begin{cases}
-x^{-3}, & fuer - \infty \le x \le 0\\
1, & fuer 1 \le x
\end{cases}
[/mm]
oder wie
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> also ist die Verteilungsfunktion von
>
> [mm]\int_{- \infty}^{x} 3*x^{-4}\,[/mm] dx ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
1.) für x<1 ist der Integrand = 0 !
> [mm]\int_{- \infty}^{x} -3/3*x^{-3}\,[/mm] dx
2.) du hast ja schon integriert, also kein Integralzeichen mehr !
[mm] -x^{-3}\big{|_{_1}^{x}}[/mm] für x>=1 (sonst =0)
gleich
[mm]F(x)=\begin{cases}0 & \quad (- \infty \le x \le 1)\\1-\bruch{1}{x^3}, & \quad (1\le x) \end{cases}[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:57 Fr 18.07.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> bin mir nicht sicher was ich mir hier zusammen reche aber
> kann das hier sein
>
> [mm]\bruch{-c}{x^3 * 3}]^{\infty}_\red{0}[/mm] =1
wenn Du die von mir rotmarkierte $0$ durch $1$ ersetzt, solltest Du zu Al-Chwarizmis Ergebnis gelangen.
> c= $ [mm] -1\cdot{}3x^3]^{\infty}_0 [/mm] $
>
> oder was hab ich da jetzt wider falsch gemacht
Diese Umformung ist natürlich unsinnig, wenn, dann so (mit der bereits vorgenommenen Korrektur):
[mm] $c=\;-\;\left(\left[\bruch{1}{x^3 * 3}\right]^{\infty}_1\right)^{-1}$
[/mm]
P.S.:
Zu dem Unsinn Deiner Umformung:
Du hast (bzw. hättest) oben bei [mm] $\left[\frac{-c}{3\,x^3}\right]_1^\infty=1$ [/mm] zunächst ohne weiteres [mm] $c=\;-\;\frac{1}{\left[\frac{1}{3\,x^3}\right]_1^\infty}=\;-3\;\frac{1}{\left[\frac{1}{x^3}\right]_1^\infty}$ [/mm] schreiben können, aber Du darfst natürlich nicht die eckigen Klammern nach außen ziehen und damit die innere Funktion verändern, also das da oben (und damit das $c$) ist
[mm] $\not=\;-\;3\,\left[x^3\right]_1^\infty$.
[/mm]
Wenn Du [mm] $\frac{1}{[F(x)]_{x=a}^{x=b}}$ [/mm] hast, so gilt ja (mal angenommen, man dürfte/könnte alles hinschreiben, also angenommen, die Voraussetzungen dazu seien vorliegend)
$$
[mm] \frac{1}{[F(x)]_{x=a}^{x=b}}=\frac{1}{F(b)-F(a)}.
[/mm]
$$
Allerdings wäre [mm] $\left[\frac{1}{F(x)}\right]_{x=a}^{x=b}$ [/mm] (wieder unter der Annahme, man dürfte/könnte das alles hinschreiben)
$$
[mm] \left[\frac{1}{F(x)}\right]_{x=a}^{x=b}=\frac{1}{F(b)}-\frac{1}{F(a)}.
[/mm]
$$
und i.a. ist daher
$$
[mm] \frac{1}{[F(x)]_{x=a}^{x=b}} \not=\left[\frac{1}{F(x)}\right]_{x=a}^{x=b}. [/mm]
$$
P.S.:
> oder was hab ich da jetzt wider falsch gemacht
Hier bitte wieder, denn wider bedeutet, grob gesagt: gegen. Bei Widerspruch gehört also bspw. kein e dahin 
Gruß,
Marcel
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also ist die verteilungsfunktion von
[mm] \int_{- \infty}^{x} 3*x^{-4}\, [/mm] dx
[mm] \int_{- \infty}^{x} -3/3*x^{-3}\, [/mm] dx
(-1)* [mm] 1/x^3 ]_{- \infty}^x
[/mm]
gleich
[mm] F(x)=\begin{cases}
-x^{-3}, & fuer - \infty \le x \le 0\\
1, & fuer 1 \le x
\end{cases}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:17 Fr 18.07.2008 | | Autor: | Blech |
> also ist die verteilungsfunktion von
>
Die Verteilungsfunktion von was?
Daß die 3 Terme unsinnig sind, wurde ja oben schon gesagt, und auch begründet, warum dem so ist.
> [mm]F(x)=\begin{cases}
-x^{-3}, & fuer - \infty \le x \le 0\\
1, & fuer 1 \le x
\end{cases}[/mm]
Nachdem die Dichte 0 ist für x<1, kann F(x) für x<1 auch nur 0 sein.
Es wurde schon mehrmals erwähnt, daß Du über die falschen Grenzen integrierst, und bevor Du diese Antworten Dir mal durchliest, und dann entsprechend anwendest, wird auch nichts richtiges rauskommen.
ciao
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:29 Sa 19.07.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> also ist die verteilungsfunktion von
>
> [mm]\int_{- \infty}^{x} 3*x^{-4}\,[/mm] dx
>
> [mm]\int_{- \infty}^{x} -3/3*x^{-3}\,[/mm] dx
>
> (-1)* [mm]1/x^3 ]_{- \infty}^x[/mm]
>
> gleich
>
>
> [mm]F(x)=\begin{cases}
-x^{-3}, & fuer - \infty \le x \le 0\\
1, & fuer 1 \le x
\end{cases}[/mm]
>
>
prüfe das doch bitte nochmal auf Sinngehalt.
Denn alleine schon die Tatsache, dass Deine Funktion auf $(0,1)$ nicht definiert ist, sollte Dich selbst skeptisch machen (Was ist z.B. $F(1/2)$?). Ferner ist es natürlich (bei Deiner ersten Rechnung oben) schlecht, wenn man eine Integrationsgrenze schon mit $x$ bezeichnet, dann die Integrationsvariable auch $x$ zu nennen. Also anstelle von [mm] $\int_{-\infty}^x f(x)\;dx$ [/mm] solltest Du schon eher [mm] $\int_{-\infty}^x f(t)\;dt$ [/mm] oder [mm] $\int_{-\infty}^x f(y)\;dy$ [/mm] oder ... schreiben.
Für $x [mm] \in \IR$ [/mm] gilt für die Verteilungsfunktion $F$ von $f$ dann
$$
[mm] F(x)=\int_{-\infty}^x f(t)\;dt=\int_{-\infty}^x 1_{[1,\infty)}(t)*(3t^{-4})\;dt.
[/mm]
$$
Und nun solltest Du erkennen:
Ist $x < 1$, so ist
$$
[mm] F(x)=\int_{-\infty}^x \underbrace{1_{[1,\infty)}(t)*(3*t^{-4})}_{=0}\;dt=\int_{-\infty}^x 0\;dt=0,
[/mm]
$$
und im Falle $x [mm] \ge [/mm] 1$ gilt:
$$
[mm] F(x)=\int_{-\infty}^x 1_{[1,\infty)}(t)*(3*t^{-4})\;dt=\int_{-\infty}^1 \underbrace{1_{[1,\infty)}(t)}_{=0}*(3*t^{-4})\;dt\;+\int_1^x \;\underbrace{1_{[1,\infty)}(t)}_{=1}*(3*t^{-4})\;dt=\int_1^x (3*t^{-4})\;dt=3 \int_1^x\, t^{-4}\;dt
[/mm]
$$
Also
$$
[mm] F(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x < 1 \\ 3*\int_1^x \,t^{-4}\;dt, & \mbox{für } x \ge 1 \end{cases}=....
[/mm]
$$
So, und damit solltest Du nun zu der richtigen Verteilungsfunktion $F$ gelangen (Du brauchst ja nur noch [mm] $\int_1^x \,t^{-4}\;dt$ [/mm] für $x [mm] \ge [/mm] 1$ anzugeben).
P.S.:
Da Bilder mehr als 1000 Worte sagen können:
Hier siehst Du mal den Graphen der Funktion $f$ angedeutet, und wenn Du Dich erinnerst, dass die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion und der $x$-Achse etwas mit Integration zu tun hat, so solltest Du alleine schon anhand des Graphen erkennen, dass [mm] $\int_{-\infty}^x f(t)\;dt=0$ [/mm] für $x < 1$ gilt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß,
Marcel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:43 Fr 18.07.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ja das weiss ich nur ich weiss nicht genau was das [mm]1_{[1, \infty)}[/mm]
> machen soll weil das haben wir nicht so gemacht bzw ich hab
> das noch nie so gesehen und in meinem buch stocastik für
> einsteiger Henze find ich jetzt auch nix dazu
es gilt sicherlich
[mm] $$1_{[1,\infty)}(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x \in [1,\infty) \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}\;\;\;\mbox{ }(x \in \IR).$$ [/mm]
Vielleicht ist Dir der Begriff der ![[]](/images/popup.gif) charakteristischen Funktion [mm] ($\leftarrow$ bitte anklicken) mit der Notation $\chi_T$ anstelle von $1_T$ geläufiger?!
Gruß,
Marcel
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:21 Fr 18.07.2008 | | Autor: | Blech |
> Sei X eine ZV auf WR [mm](\Omega,\mathfrak{S},[/mm] P) mit werten in
> [mm][1,\infty)[/mm] und der mit einer Konstanten c [mm]\in[/mm] (0, [mm]\infty)[/mm]
> durch
>
> f(x)= [mm]c*x^{-4} *1_{[1,\infty)}[/mm] (x) , x [mm]\in \IR,[/mm]
Für eine beliebige Menge A ist die Indikatorfunktion:
[mm] $1_A(x):=\begin{cases}1,&\text{für }x\in A\\ 0,&\text{sonst}\end{cases}$
[/mm]
Wenn's Dir weiterhilft, kannst Du Dir das oben auch als
$f(x)= [mm] c*x^{-4},\ x\geq [/mm] 1$
schreiben.
> Ich hab eigentlich keinen blassen schimmer wie ich die a)
> berechnen soll und kann dementsprechend auch nicht weiter
Die a) hat Al-Chwarizmi ja schon vorgerechnet.
ciao
Stefan
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