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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:45 Mi 24.04.2013 | | Autor: | Zero_112 |
| Aufgabe | Sei die Funktion f: [mm] \IR \to \IR [/mm] für alle [mm] x\in\IR [/mm] gegeben durch exp(cos(x)).
Bestimmen Sie eine Konstante M > 0, sodass gilt:
|f(x) - [mm] T_2(f,0)(x)| \le M*|x|^3 [/mm] |
Hallo.
[mm] T_2(f,0)(x) [/mm] = e - [mm] \bruch{e}{2}x^2 [/mm]
[mm] |e^{cos(x)}-e+\bruch{e}{2}x^2| \le M*|x|^3 [/mm] für alle [mm] x\in\IR
[/mm]
Ich habe folgende Abschätzung vorgenommen:
[mm] |e^{cos(x)}-e+\bruch{e}{2}x^2| \le |e-e+\bruch{e}{2}x^2| [/mm] (weil cos(x) höchstens 1 werden kann) [mm] \le |\bruch{e}{2}x^2| [/mm] = [mm] \bruch{e}{2}|x|^2 \le \bruch{e}{2}|x|^3 [/mm] ...was allerdings nicht stimmen kann, da das für 0<x<1 nicht aufgeht.
Ich verstehe nicht, wie ich da anders herangehen kann.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:27 Mi 24.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei die Funktion f: [mm]\IR \to \IR[/mm] für alle [mm]x\in\IR[/mm] gegeben
> durch exp(cos(x)).
>
> Bestimmen Sie eine Konstante M > 0, sodass gilt:
>
> |f(x) - [mm]T_2(f,0)(x)| \le M*|x|^3[/mm]
> Hallo.
>
> [mm]T_2(f,0)(x)[/mm] = e - [mm]\bruch{e}{2}x^2[/mm]
>
> [mm]|e^{cos(x)}-e+\bruch{e}{2}x^2| \le M*|x|^3[/mm] für alle
> [mm]x\in\IR[/mm]
>
> Ich habe folgende Abschätzung vorgenommen:
>
> [mm]|e^{cos(x)}-e+\bruch{e}{2}x^2| \le |e-e+\bruch{e}{2}x^2|[/mm]
> (weil cos(x) höchstens 1 werden kann) [mm]\le |\bruch{e}{2}x^2|[/mm]
> = [mm]\bruch{e}{2}|x|^2 \le \bruch{e}{2}|x|^3[/mm] ...was allerdings
> nicht stimmen kann, da das für 0<x<1 nicht aufgeht.
>
> Ich verstehe nicht, wie ich da anders herangehen kann.
Verwende das Restglied
FRED
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> Verwende das Restglied
>
> FRED
Ja, das ist mir eben auch eingefallen :D.
Ich bekomme M= [mm] \bruch{e}{2} [/mm] heraus.
f'''(x)=sin(x)*e^(cos(x))*(3cos(x)+1-sin²(x))
Für [mm] \beta\in [/mm] (x,0) ergibt sich unter Verwendung der Lagrange-Restgliedformel:
[mm] |\bruch{sin(\beta)*exp(cos(\beta))*(3cos(\beta)+1-sin^2(\beta))}{6}*x^3| \le |\bruch{1*e*(3+1-1)}{6}*x^3| [/mm] = [mm] |\bruch{e}{2}*x^3| [/mm] = [mm] \bruch{e}{2}*|x|^3 \le M*|x|^3
[/mm]
(Die erste Abschätzung kommt zustande, da sin(x) und cos(x) 1 als Maximum haben) Ist das so in Ordnung?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Fr 26.04.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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