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Konstruktion W-Dichte: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:54 Mi 26.12.2018
Autor: mathe_thommy

Aufgabe
Gesucht ist die Dichtefunktion $f$ einer stetigen Zufallsvariablen $X$, die folgende Eigenschaften erfüllt: gleich Null außerhalb des Intervalls $[0;0,5)$, ungleich Null innerhalb des Intervalls $[0;0,5)$, bestehend aus drei linearen Teilstücken, stetig in $x=0,5$ und einziges Maximum in $x=0$ besitzend.


Guten Tag,

mein Ansatz zur vorangehenden Aufgabe ist folgender:
[mm] $f_{X}(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x<0 \\ -ax+b, & \mbox{für } 0 \le x < 0,5 \\ 0, & \mbox{für } x \ge 0,5 \end{cases}$ [/mm]
Durch die fallende lineare Funktion im mittleren Teilstück erhalte ich ein Maximum in $x=0$. Nun weiß ich nicht, wie ich die übrigen Informationen nutzen kann, um $a, b$ zu bestimmen. Ich denke, dass
[mm] $\lim_{x \to 0,5} \integral_{0}^{x}{f_{X}(x) dx} [/mm] =1$
um die Stetigkeit zu gewährleisten, oder? Mit dem Integral komme ich dann jedoch nicht auf die gesuchten Werte. Für einen Denkanstoß bin ich sehr dankbar!

Frohe Feiertage!
mathe_thommy

        
Bezug
Konstruktion W-Dichte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:22 Mi 26.12.2018
Autor: Marc

Hallo mathe_thommy!

> Gesucht ist die Dichtefunktion [mm]f[/mm] einer stetigen
> Zufallsvariablen [mm]X[/mm], die folgende Eigenschaften erfüllt:
> gleich Null außerhalb des Intervalls [mm][0;0,5)[/mm], ungleich
> Null innerhalb des Intervalls [mm][0;0,5)[/mm], bestehend aus drei
> linearen Teilstücken, stetig in [mm]x=0,5[/mm] und einziges Maximum
> in [mm]x=0[/mm] besitzend.
>  
> Guten Tag,
>  
> mein Ansatz zur vorangehenden Aufgabe ist folgender:
>  [mm]f_{X}(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x<0 \\ -ax+b, & \mbox{für } 0 \le x < 0,5 \\ 0, & \mbox{für } x \ge 0,5 \end{cases}[/mm]

Der Ansatz ist schon mal sehr gut. Es fehlt natürlich noch die Forderung $a>0$.
Daher hätte ich einfach mit $ax+b$ und $a<0$ angesetzt.
  

> Durch die fallende lineare Funktion im mittleren Teilstück
> erhalte ich ein Maximum in [mm]x=0[/mm]. Nun weiß ich nicht, wie
> ich die übrigen Informationen nutzen kann, um [mm]a, b[/mm] zu
> bestimmen. Ich denke, dass
> [mm]\lim_{x \to 0,5} \integral_{0}^{x}{f_{X}(x) dx} =1[/mm]
>  um die
> Stetigkeit zu gewährleisten, oder? Mit dem Integral komme

Das Integral ist doch der Wert der Verteilungsfunktion an der Stelle x, also [mm] $F(x)=\integral_{0}^{x}{f_{X}(x) dx}$. [/mm] Dein Limes fordert damit die Stetigkeit der Verteilungsfunktion an der Stelle $0{,}5$.

> ich dann jedoch nicht auf die gesuchten Werte. Für einen
> Denkanstoß bin ich sehr dankbar!

Du hast ja noch zwei Parameter zu bestimmen, $a$ und $b$. Außerdem hast du zwei Informationen noch nicht verwendet:
1. Stetigkeit von $f$ an der Stelle $x=0{,}5$. Wie lautet die richtige Bedingung dafür?
2. $f$ ist eine Dichtefunktion. Wie lautet die richtige Integralbedingung dafür?

Du hast diese beiden Dinge in deiner Integralgleichung irgendwie vermischt ;-)

Viele Grüße
Marc

Bezug
                
Bezug
Konstruktion W-Dichte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:50 Mi 26.12.2018
Autor: mathe_thommy

Hallo Marc,

ich danke Dir für Deine hilfreiche Antwort! Da ist mir in der Tat etwas durcheinander geraten. Ich habe nun noch einmal gerechnet und bin zu folgendem Ergebnis gelangt:

(1) Stetigkeit: [mm] $\lim_{x \to 0,5} f_{X}(x)=0$ [/mm] führt zu $b=-0,5a$
(2) Eigenschaft einer W-Dichte: [mm] $\integral_{0}^{0,5}{ax+b } [/mm] dx =1$ führt zu [mm] $\frac{1}{8}a+\frac{1}{2}b=1$ [/mm]
Insgesamt erhalte ich dann für das mittlere lineare Teilstück $-8x+4$.
Dieses Ergebnis scheint - zumindest anschaulich - sinnvoll.

Ich danke Dir für Deine Unterstützung!
mathe_thommy

Bezug
                        
Bezug
Konstruktion W-Dichte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:08 Mi 26.12.2018
Autor: fred97


> Hallo Marc,
>  
> ich danke Dir für Deine hilfreiche Antwort! Da ist mir in
> der Tat etwas durcheinander geraten. Ich habe nun noch
> einmal gerechnet und bin zu folgendem Ergebnis gelangt:
>  
> (1) Stetigkeit: [mm]\lim_{x \to 0,5} f_{X}(x)=0[/mm] führt zu
> [mm]b=-0,5a[/mm]
>  (2) Eigenschaft einer W-Dichte: [mm]\integral_{0}^{0,5}{ax+b } dx =1[/mm]
> führt zu [mm]\frac{1}{8}a+\frac{1}{2}b=1[/mm]
>  Insgesamt erhalte ich dann für das mittlere lineare
> Teilstück [mm]-8x+4[/mm].


Sieht gut aus !


>  Dieses Ergebnis scheint - zumindest anschaulich -
> sinnvoll.
>  
> Ich danke Dir für Deine Unterstützung!
>  mathe_thommy


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