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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:39 Do 03.08.2006 | | Autor: | VerenaB |
| Aufgabe | 1) Zu zeigen ist: Es existiert eine meromorphe mit folgenden Eigenschaften:
a. f verschwindet für alle $i [mm] n^2, [/mm] n [mm] \in \IN$
[/mm]
b. f hat in allen Punkten $m [mm] \in \IN$ [/mm] Polstellen erster Ordnung
2) Kann man überdies sogar erreichen, dass das Residuum der in 1) konstruierten Funktion in allen Polstellen [mm] $m\in \IN$ [/mm] gleich 1 ist? |
Hallo!
Eine Funktion mit den in 1) geforderten Eigenschaften ist, denke ich
$f(z):= [mm] \bruch{sin(\pi \wurzel{z/i})}{sin(\pi z)}$ [/mm] mit dem Zweig der holomorphen Wurzel auf [mm] $\IC \backslash\IR_0^-$. [/mm] Dann ist $f$ meromorph auf [mm] $\IC \backslash\IR_0^-$. [/mm]
Frage hierzu: gibt es auch eine auf [mm] $\IC$ [/mm] meromorphe solche Funktion?
Zu 2) hab ich mir überlegt, dass man mit Mittag-Leffler bestimmt eine solche Funktion konstruieren kann, wenn man Forderung a. aufgibt. Eine solche Funktion kann ich sogar explizit angeben:
$f(z):= [mm] \bruch{\pi\cos(\pi z)}{sin(\pi z)}$ [/mm]
Existiert aber eine solche Funktion, die zudem Forderung a. erfüllt?
Schon mal danke im Voraus,
Gruß, Verena
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:08 Do 03.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Verena!
> 1) Zu zeigen ist: Es existiert eine meromorphe mit
> folgenden Eigenschaften:
> a. f verschwindet für alle [mm]i n^2, n \in \IN[/mm]
> b. f hat in
> allen Punkten [mm]m \in \IN[/mm] Polstellen erster Ordnung
>
> 2) Kann man überdies sogar erreichen, dass das Residuum der
> in 1) konstruierten Funktion in allen Polstellen [mm]m\in \IN[/mm]
> gleich 1 ist?
> Hallo!
>
> Eine Funktion mit den in 1) geforderten Eigenschaften ist,
> denke ich
> [mm]f(z):= \bruch{sin(\pi \wurzel{z/i})}{sin(\pi z)}[/mm] mit dem
> Zweig der holomorphen Wurzel auf [mm]\IC \backslash\IR_0^-[/mm].
> Dann ist [mm]f[/mm] meromorph auf [mm]\IC \backslash\IR_0^-[/mm].
> Frage hierzu: gibt es auch eine auf [mm]\IC[/mm] meromorphe solche
> Funktion?
Versuch doch mal eine mit Mittag-Leffler zu konstruieren! Du kannst damit ja erstmal den Zaehler konstruieren (Vorsicht, du musst sie Nullstellenfrei hinbekommen! Dazu kannst du evtl. den Weierstrassschen Produktsatz benutzen!), und sie dann wieder durch [mm] $\sin(\pi [/mm] z)$ teilen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:39 Do 03.08.2006 | | Autor: | VerenaB |
Hallo Felix,
danke, ja, mit dem Weierstraßschen Produktsatz geht's. Stimmt dieser Ansatz für 1) ?
Da sogar die Reihe [mm] $\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{z}{n^2}$ [/mm] absolut konvergiert, benötige ich sogar gar keine konvergenzerzeugenden Faktoren, um den Zähler zu konstruieren...
Denn:
Seien [mm] $c_n$ [/mm] die vorgegeben Nullstellen der Vielfachheit [mm] $k_n$ [/mm] sind.
Seien [mm] $m_n$ [/mm] Folge ganzer Zahlen mit [mm] $\sum{k_n{(\bruch{z}{c_n})}^{m_n+1}$.
Dann sind die konvergenzerzeugenden Faktoren von der Form $exp(P_n(z)$, wobei $P_n(z):=\summe_{j=1}^{m_n}\bruch{1}{j}{(\bruch{z}{c_n})}^j$.
Es gilt dann:
$ \produkt_{i=1}^{\infty}((1-\bruch{z}{c_n})*exp(P_n(z))^{k_n}$ konvergiert normal auf \IC.
Hier, da $\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{z}{n^2}$ absolut konvergiert, wähle $m_n=0$. Dann konvergiert
$ \produkt_{i=1}^{\infty}(1-\bruch{z}{in^2})$ normal auf $\IC$
und die gesuchte meromorphe Funktion lautet:
$ \bruch{\produkt_{i=1}^{\infty}(1-\bruch{z}{in^2})}{sin(\pi z)}$
Wie berechne ich jetzt aber
$\lim_{z\to m}{ \produkt_{i=1}^{\infty}(1-\bruch{z}{in^2})}}$, [/mm] um das Residuum dieser Funktion zur berechnen?
Lg, Verena
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(Frage) überfällig | | Datum: | 13:26 Do 03.08.2006 | | Autor: | VerenaB |
Hallo Felix,
jetzt hab ich nochmal weitergedacht...
Die Funktion
[mm]\bruch{\produkt_{i=1}^{\infty}(1-\bruch{z}{in^2})}{sin(\pi z)}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
hat ja mehr Pole als erwünscht!
Mit Mittag-Leffler erhalte ich die Funktion
$h(z)=\summe_{n\geq 1}(\bruch{1}{z-n}+\bruch{1}{n}\summe_{j=0}^{n}(\bruch{z}{n})^j)=
\summe_{n\geq 1}(-\bruch{1}{n}\summe_{j=n+1}^{\infty}(\bruch{z}{n})^j)$, die in allen Polen das Residuum 1 besitzt.
Demnach wäre also
${\produkt_{i=1}^{\infty}(1-\bruch{z}{in^2})}*h(z)$ die gesuchte Funktion, wenn ich sicher sein könnte, dass $h$ keine Nullstellen besitzt. Doch wie könnte ich das zeigen?
Wenn das klappen würde, könnte ich auch so Aufgabenteil 2 lösen:
Mit Mittag-Leffler weiß ich, dass es eine Funktion gibt, die an den Stellen $n\in\IN$ genau die Residuen $1/\produkt_{i=1}^{\infty}(1-\bruch{z}{in^2})}}$ besitzt.
Weiß ich, dass ich eine solche Funktion $g(z)$ nullstellenfrei konstruieren kann, so wäre ${\produkt_{i=1}^{\infty}(1-\bruch{m}{in^2})}*g(z)$ eine Funktion, die alle Bedingungen erfüllt.
Lg, Verena
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:22 Sa 05.08.2006 | | Autor: | VerenaB |
Hallo,
hab bei obigen Fragen vergessen, dass Fälligkeitsdatum nach hinten zu stellen. Würd mich freuen, wenn jemand meine Ideen nochmal anschaut, und mir rückmeldung gibt....
LG,
Verena
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:26 So 13.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Verena!
Der Rest hat sich (hoffentlich) schon in dem anderen Posting geklaert.
> Wie berechne ich jetzt aber
> [mm]\lim_{z\to m}{ \produkt_{i=1}^{\infty}(1-\bruch{z}{in^2})}}[/mm],
> um das Residuum dieser Funktion zur berechnen?
Die Funktion ist in $m$ definiert, also ist der Limes gerade [mm] $\prod_{n=1}^\infty [/mm] (1 - [mm] \frac{m}{i n^2})$. [/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:54 So 06.08.2006 | | Autor: | VerenaB |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Felix,
danke, ja, mit dem Weierstraßschen Produktsatz geht's, eine holomorphe Funktion zu konstruieren, die in den gewünschten Punkten Nullstellen hat. Stimmt dieser Weg ?
Da sogar die Reihe $ \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{z}{n^2} $ absolut konvergiert, benötige ich sogar gar keine konvergenzerzeugenden Faktoren, um den Zähler zu konstruieren...
Denn:
Seien $ c_n $ die vorgegeben Nullstellen der Vielfachheit $ k_n $ sind.
Seien $ m_n $ Folge ganzer Zahlen mit $ \sum{k_n{(\bruch{z}{c_n})}^{m_n+1} $.
Dann sind die konvergenzerzeugenden Faktoren von der Form $ exp(P_n(z) $, wobei $ P_n(z):=\summe_{j=1}^{m_n}\bruch{1}{j}{(\bruch{z}{c_n})}^j $.
Es gilt dann:
$ \produkt_{i=1}^{\infty}((1-\bruch{z}{c_n})\cdot{}exp(P_n(z))^{k_n} $ konvergiert normal auf $ \IC $
Hier, da $ \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{z}{n^2} $ absolut konvergiert, wähle $ m_n=0 $. Dann konvergiert
$ \produkt_{i=1}^{\infty}(1-\bruch{z}{in^2}) $ normal auf $ \IC $
und die gesuchte meromorphe Funktion würde lauten:
$ \bruch{\produkt_{i=1}^{\infty}(1-\bruch{z}{in^2})}{sin(\pi z)} $
Hab noch eine weitere Frage:
Die Funktion
$ \bruch{\produkt_{i=1}^{\infty}(1-\bruch{z}{in^2})}{sin(\pi z)} $
hat ja mehr Pole als erwünscht!
Mit Mittag-Leffler erhalte ich die Funktion
$h(z)=\summe_{n\geq 1}(\bruch{1}{z-n}+\bruch{1}{n}\summe_{j=0}^{n}(\bruch{z}{n})^j)=
$ \summe_{n\geq 1}(-\bruch{1}{n}\summe_{j=n+1}^{\infty}(\bruch{z}{n})^j)$, $ die in allen Polen das Residuum 1 besitzt.
Demnach wäre also
$ {\produkt_{i=1}^{\infty}(1-\bruch{z}{in^2})}\cdot{}h(z) $ die gesuchte Funktion, wenn ich sicher sein könnte, dass $ h $ keine Nullstellen besitzt. Doch wie könnte ich das zeigen?
Wenn das klappen würde, könnte ich auch so Aufgabenteil 2 lösen:
Mit Mittag-Leffler weiß ich, dass es eine Funktion gibt, die an den Stellen $ n\in\IN $ genau die Residuen $ 1/\produkt_{i=1}^{\infty}(1-\bruch{z}{in^2})}} $ besitzt.
Weiß ich, dass ich eine solche Funktion $ g(z) $ nullstellenfrei konstruieren kann, so wäre $ {\produkt_{i=1}^{\infty}(1-\bruch{m}{in^2})}\cdot{}g(z) $ eine Funktion, die alle Bedingungen erfüllt.
Lg, Verena
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:23 So 13.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Verena!
> danke, ja, mit dem Weierstraßschen Produktsatz geht's,
> eine holomorphe Funktion zu konstruieren, die in den
> gewünschten Punkten Nullstellen hat. Stimmt dieser Weg ?
> Da sogar die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{z}{n^2}[/mm]
> absolut konvergiert, benötige ich sogar gar keine
> konvergenzerzeugenden Faktoren, um den Zähler zu
> konstruieren...
>
> Denn:
> Seien [mm]c_n[/mm] die vorgegeben Nullstellen der Vielfachheit [mm]k_n[/mm]
> sind.
> Seien [mm]m_n[/mm] Folge ganzer Zahlen mit
> [mm]\sum{k_n{(\bruch{z}{c_n})}^{m_n+1} [/mm].
...konvergiert kompakt auf [mm] $\IC$. [/mm] Das meinst du doch, oder?
> Dann sind die
> konvergenzerzeugenden Faktoren von der Form [mm]exp(P_n(z) [/mm],
> wobei
> [mm]P_n(z):=\summe_{j=1}^{m_n}\bruch{1}{j}{(\bruch{z}{c_n})}^j [/mm].
>
> Es gilt dann:
>
> [mm]\produkt_{i=1}^{\infty}((1-\bruch{z}{c_n})\cdot{}exp(P_n(z))^{k_n}[/mm]
> konvergiert normal auf [mm]\IC.[/mm]
Vorsicht, benenn den Laufindex $i$ mal in $n$ um!
> Hier, da [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{z}{n^2}[/mm] absolut
> konvergiert, wähle [mm]m_n=0 [/mm]. Dann konvergiert
> [mm]\produkt_{i=1}^{\infty}(1-\bruch{z}{in^2})[/mm] normal auf [mm]\IC[/mm]
>
> und die gesuchte meromorphe Funktion würde lauten:
> [mm]\bruch{\produkt_{i=1}^{\infty}(1-\bruch{z}{in^2})}{sin(\pi z)}[/mm]
Fast (abgesehen vom Laufindex): Die Funktion hat zu viel Pole. (Hast du ja auch schon gemerkt.)
Alternativ kannst du ja auch mit dem Weierstrassschen Produktsatz den Nenner konstruieren (nur das du diesmal mit den Konvergenzfaktoren etwas mehr Probleme hast). Oder halt wie unten verfahren.
>
> Hab noch eine weitere Frage:
>
> Die Funktion
> [mm]\bruch{\produkt_{i=1}^{\infty}(1-\bruch{z}{in^2})}{sin(\pi z)}[/mm]
>
> hat ja mehr Pole als erwünscht!
>
> Mit Mittag-Leffler erhalte ich die Funktion
> [mm]h(z)=\summe_{n\geq 1}(\bruch{1}{z-n}+\bruch{1}{n}\summe_{j=0}^{n}(\bruch{z}{n})^j)=[/mm]
> [mm]\summe_{n\geq 1}(-\bruch{1}{n}\summe_{j=n+1}^{\infty}(\bruch{z}{n})^j),[/mm]
> die in allen Polen das Residuum 1 besitzt.
> Demnach wäre also
> [mm]{\produkt_{i=1}^{\infty}(1-\bruch{z}{in^2})}\cdot{}h(z)[/mm]
> die gesuchte Funktion,
Nein (abgesehen von dem was du gleich schreibst): Wenn du ein Produkt $g(z) h(z)$ hast und [mm] $g(z_0) \neq [/mm] 0, [mm] \infty$ [/mm] ist, dann ist das Residuum von $g(z) h(z)$ in [mm] $z_0$ [/mm] gleich [mm] $g(z_0)$ [/mm] mal dem Residuum von $h$ in [mm] $z_0$. [/mm] Sprich, du musst die Residuen nicht ueberall 1 nehmen bei der Konstruktion, sondern die Funktionswerte von dem Produkt beruecksichtigen.
> wenn ich sicher sein könnte, dass [mm]h[/mm]
> keine Nullstellen besitzt. Doch wie könnte ich das zeigen?
Mmmh, ich vermute mal das die Funktion nicht nullstellenfrei sein wird. Und wenn du sie nullstellenfrei machst (durch passende, mit dem Produktsatz konstruierte Funktion teilen), dann hast du wieder die falschen Residuen...
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 So 03.09.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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