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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:25 Mo 20.10.2014 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Theorem:
Sei die Nachfolgeeigenschaft [mm] \psi
[/mm]
[mm] \psi(Y):= \forall [/mm] X : ( [mm] \emptyset \in [/mm] Y [mm] \wedge [/mm] (X [mm] \in [/mm] Y => S(X) [mm] \in [/mm] Y))
gegeben. Dann gilt
[mm] \exists! \IN [/mm] : [mm] \forall [/mm] M : [mm] (\psi(\IN) \wedge (\psi(M) [/mm] => [mm] \IN \subseteq [/mm] M))
Mit anderen Worten es gibt genau eine Menge der natürlichen Zahlen. Sie ist die kleinste Menge, die die Nachfolgeeigenschaft besitzt.
Wir haben definiert für eine beliebige Menge A den Nachfolger S(A) durch S(A):= A [mm] \cup \{A\} [/mm] |
Hallo,
Ich habe zwei Fragen zum Beweis im Buch. Ich tippe ihn nun einmal ab:
Wegen ZF7 gibt es eine Menge Z, die die Eigenschaft [mm] \psi(Z) [/mm] besitzt. Wir definieren die Mengenfamilie N:= [mm] \{M \in \IP Z | \psi(M)\}. [/mm] Sein nun [mm] \IN= \bigcap [/mm] N.
(Für eine Mengenfamilie [mm] \mathcal{F} [/mm] ist [mm] \bigcap \mathcal{F} [/mm] definiert durch [mm] \bigcap \mathcal{F}:=\{x \in \bigcup \mathcal{F}|\forall F \in \mathcal{F} : (x \in F)\}
[/mm]
Dann gilt [mm] \forall [/mm] M [mm] \in [/mm] N: [mm] \psi(M), [/mm] und daher [mm] \forall [/mm] M [mm] \in N:(\emptyset \in [/mm] M), also auch [mm] \emptyset \in \IN. [/mm] Ferner wissen wir X [mm] \in \IN [/mm] => [mm] (\forall [/mm] M [mm] \in [/mm] N: (X [mm] \in [/mm] M)), deshalb [mm] \forall [/mm] M [mm] \in [/mm] N: (S(X) [mm] \in [/mm] M), was wiederum S(X) [mm] \in \IN [/mm] zur Folge hat. Daher gilt [mm] \psi(\IN)
[/mm]
Um die Eindeutigkeit zu zeigen, nehmen wir an, dass [mm] \exists [/mm] M: [mm] \psi(M) [/mm] (etwa ein M, das nicht Teilmenge von Z ist). Mit denselben Argumenten wie oben können wir zeigen, dass [mm] \psi(Z \cap [/mm] M) gilt, sowie (Z [mm] \cap [/mm] M) [mm] \subseteq [/mm] M und [mm] \IN \subseteq [/mm] Z [mm] \cap [/mm] M, was [mm] \IN \subseteq [/mm] M impliziert.
[mm] \Box
[/mm]
Frage:
Warum gilt am Schluss des Beweises: [mm] \IN \subseteq [/mm] Z [mm] \cap [/mm] M ?
> Ferner wissen wir X [mm] \in \IN..
[/mm]
Warum wissen wir, dass X [mm] \in \IN [/mm] ?
LG,
sissi
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Es wäre wirklich gut, wenn du pro Formel ein Dollarzeichen davor und eines danach setzen könntest. Es erhöht die Lesbarkeit einfach ungemein. So ist das kaum zu entziffern.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:23 Di 21.10.2014 | | Autor: | MacMath |
> Frage:
> Warum gilt am Schluss des Beweises: [mm]\IN \subseteq[/mm] Z [mm]\cap[/mm] M
> ?
[mm] $\IN$ [/mm] ist doch per Definition gerade der Schnitt über alle Mengensysteme $M$, die [mm] $\psi(M)$ [/mm] erfüllen.
>
> > Ferner wissen wir X [mm]\in \IN..[/mm]
> Warum wissen wir, dass X
> [mm]\in \IN[/mm] ?
Das hat niemand behauptet, dort steht:
Wir wissen $X [mm] \in \IN \Rightarrow (\forall [/mm] M [mm] \in [/mm] N: (X [mm] \in [/mm] M))$
Also WENN [mm] $X\in \IN$, [/mm] dann....
Viele Grüße
Daniel
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