Kontrahierend / Fixpunkt < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:46 Mo 12.12.2005 | | Autor: | Ernesto |
Salut miteinander,
durch folgende Problemstellung kämpfe ich mich zur Zeit.
Vorraussetzung :
Sei f : [1,2] -> [ 1 , 2 ] mit f(x) : = 2x + 2 / x+2
Behauptung : f ist kontrahierend.
Zum Beweis muss man doch zeigen , das eine Konstante L existiert so das gilt :
| f(x) - f(y) | [mm] \le [/mm] L |x-y | für L [mm] \le [/mm] 1
Aber wie macht man das ??
Behauptung 2
Finde alle Fixpunkte.
Ein Fixpunkt ist ja ein Punkt [mm] \beta \in [/mm] [1,2] , so das [mm] f(\beta) [/mm] = [mm] \beta.
[/mm]
dann muss doch gelten [mm] 2\beta [/mm] + 2 / [mm] \beta [/mm] + 2 = [mm] \beta
[/mm]
daraus folgt das [mm] \beta^2 [/mm] = 2 und daraus [mm] \beta [/mm] =
Also ist [mm] \wurzel{2} [/mm] ein Fixpunkt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:27 Mo 12.12.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Ernesto!
> Vorraussetzung :
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> Sei f : [1,2] -> [ 1 , 2 ] mit f(x) : = 2x + 2 / x+2
>
> Behauptung : f ist kontrahierend.
>
> Zum Beweis muss man doch zeigen , das eine Konstante L
> existiert so das gilt :
>
> | f(x) - f(y) | [mm]\le[/mm] L |x-y | für L [mm]\le[/mm] 1
>
> Aber wie macht man das ??
Überlege dir, das $f$ auf dem Intervall $[1,2]$ stetig differenzierbar ist und schätze mit dem Mittelwertsatz ab! Du wirst sehen, dass das Supremum der Abletingen von $f$ auf dem betrachteten Intervall echt kleiner als $1$ ist.
> Behauptung 2
>
> Finde alle Fixpunkte.
>
> Ein Fixpunkt ist ja ein Punkt [mm]\beta \in[/mm] [1,2] , so das
> [mm]f(\beta)[/mm] = [mm]\beta.[/mm]
>
> dann muss doch gelten [mm]2\beta[/mm] + 2 / [mm]\beta[/mm] + 2 = [mm]\beta[/mm]
>
> daraus folgt das [mm]\beta^2[/mm] = 2 und daraus [mm]\beta[/mm] =
>
> Also ist [mm]\wurzel{2}[/mm] ein Fixpunkt
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Liebe Grüße
Julius
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