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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:35 Mo 20.01.2014 | | Autor: | Orchis |
| Aufgabe | Es sei [mm] f:[0,\infty]\to\IR, f(x)=Le^{-x}, L\in\IR [/mm] gegeben.
(a) Geben Sie alle [mm] L\in\IR [/mm] an, für die f eine Kontraktion ist.
(b) z.Z. f hat für alle L<0 keinen Fixpkt.
(c) U.a. ist f für [mm] L=-\bruch{1}{2}<0 [/mm] eine Kontraktion. Wieso widerspricht b dem Banachschen FPS nicht? |
Hallo zusammen :),
ich habe gerade etwas Kontraktionen und Lipschitzstetigkeit geübt und bin bei der folgenden Aufgabe (eine alte Klausuraufgabe) hängen geblieben.
Gedanken zu (a):
Nun habe ich zunächst einmal ein hinreichendes Kriterium für Lipschitzstetigkeit angewandt und mir die Ableitung von f nach x angeschaut:
[mm] |\bruch{d}{dx} [/mm] f(x)| = [mm] |-Le^{-x}|\le|L*1| [/mm] auf [0, [mm] \infty], [/mm] d.h. f ist für ein beschränktes L auf [mm] [0,\infinity] [/mm] lipschitzstetig. Müsste man dementsprechend dann nicht einfach nur 0<L<1 wählen, damit man eine Kontraktion bekäme?
Gedanken zu (b): Hier habe ich die Aufgabe c) überlesen...ich dachte zunächst, dass man folgendes sagen könnte:
Um den Banachschen Fixpunktsatz anwenden zu können:
(1) muss das Definitionsbereich-Intervall abgeschlossen sein,
(2) f muss Selbstabbildung sein, d.h. es muss von [mm] [0,\infty] [/mm] wieder in [mm] [0,\infty] [/mm] abbilden,
(3) f Kontraktion sein.
Vllt. kann man ja sagen, dass Punkt 2 verletzt wird sobald das L<0 gewählt wird..., damit wäre der Banachsche FPS auch nicht anwendbar.
Bei der c) komme ich momentan leider auch noch nicht weiter.
Ich hoffe, es kann mir irgendwer helfen. Ich bedanke mich schon einmal herzlich!!!
Orchis
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Hiho,
> Nun habe ich zunächst einmal ein hinreichendes Kriterium für Lipschitzstetigkeit angewandt und mir die Ableitung von f nach x angeschaut:
> [mm]|\bruch{d}{dx}[/mm] f(x)| = [mm]|-Le^{-x}|\le|L*1|[/mm] auf [0, [mm]\infty],[/mm] d.h. f ist für ein beschränktes L auf [mm][0,\infinity][/mm] lipschitzstetig.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Müsste man dementsprechend dann nicht einfach nur 0<L<1 wählen, damit man eine Kontraktion bekäme?
Besser: $0 [mm] \le [/mm] |L| < 1$
> Gedanken zu (b): Hier habe ich die Aufgabe c) überlesen...ich dachte zunächst, dass man folgendes sagen könnte:
> Um den Banachschen Fixpunktsatz anwenden zu können:
> (1) muss das Definitionsbereich-Intervall abgeschlossen
> sein,
> (2) f muss Selbstabbildung sein, d.h. es muss von
> [mm][0,\infty][/mm] wieder in [mm][0,\infty][/mm] abbilden,
> (3) f Kontraktion sein.
> Vllt. kann man ja sagen, dass Punkt 2 verletzt wird sobald das L<0 gewählt wird..., damit wäre der Banachsche FPS auch nicht anwendbar.
> Bei der c) komme ich momentan leider auch noch nicht weiter.
Die c) hast du doch oben begründet.
Du meinst sicherlich die b)
Tipp: Für einen Fixpunkt muss ja gelten: $f(x) = x$
Ein beliebter Ansatz ist dabei immer zu zeigen, dass die Hilfsfunktion $h(x) = f(x) - x$ keine Nullstelle hat (oder eine Nullstelle, wenn man die Existenz einen FP zeigen möchte).
Betrachte also doch mal h und schau, was du so über Nullstellen herausfinden kannst 
Tipp: Ableitung betrachten.
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:12 Di 21.01.2014 | | Autor: | Orchis |
Hallo und ein großes Danke für's Helfen!
Mit der Ableitung weiß ich nicht so recht, was ich machen soll, aber könnte man es nicht auch so zeigen?
h(x) := [mm] Le^{-x}-x
[/mm]
[mm] \underbrace{\underbrace{L}_{<0}\underbrace{e^{-x}}_{>0}}_{<0}-\underbrace{x}_{>=0}<0, [/mm] d.h. es gibt keine Nullstelle und somit hat h auch keinen Fixpunkt...
Wenn das so ginge, wäre es wirklich super, wenn du nochmal grob sagen könntest, was man anhand der Ableitung sehen könnte :). Ich bedanke mich auf jeden Fall nochmal !!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:26 Di 21.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo und ein großes Danke für's Helfen!
> Mit der Ableitung weiß ich nicht so recht, was ich machen
> soll, aber könnte man es nicht auch so zeigen?
> h(x) := [mm]Le^{-x}-x[/mm]
>
> [mm]\underbrace{\underbrace{L}_{<0}\underbrace{e^{-x}}_{>0}}_{<0}-\underbrace{x}_{>=0}<0,[/mm]
> d.h. es gibt keine Nullstelle
Ja
> und somit hat h auch keinen
> Fixpunkt...
Dann hat f keinen Fixpunkt !
> Wenn das so ginge, wäre es wirklich super, wenn du
> nochmal grob sagen könntest, was man anhand der Ableitung
> sehen könnte :)
Wie Gono das meint , ist mir auch nicht klar
Dass für L<0 die Funktion f keinen Fixpunkt in [0, [mm] \infty) [/mm] hat , sieht man auch einfacher so: Annahme: für ein x [mm] \in [/mm] [0, [mm] \infty) [/mm] ist
(*) [mm] Le^{-x}=x.
[/mm]
Die linke Seite von (*) ist <0, die rechte aber [mm] \ge [/mm] 0.
FRED
> . Ich bedanke mich auf jeden Fall nochmal
> !!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:07 Di 21.01.2014 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Wie Gono das meint , ist mir auch nicht klar
$h'(x) < 0$ und $h(0) < 0$.
Aber schön, wenn es auch einfacher geht 
Grüße,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:34 Di 21.01.2014 | | Autor: | Orchis |
Damit wäre alles geklärt. Ich danke euch zwei für die Hilfe! :)
Viele Grüße,
Orchis
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