Kontrolle: LGS mit 1 Var. < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:35 Mi 30.01.2008 | | Autor: | Zuggel |
| Aufgabe | Diskutieren Sie die Gesamtheit bzw. Gemeinsamkeiten der Lösungen des folgenden Linearen Gleichungs-Systems mit der Variablen [mm] \alpha [/mm] welche in [mm] \IR [/mm] variiert wird.
[mm] x+y+\alpha [/mm] z =1
x-y+z=2
[mm] \alpha [/mm] x +y [mm] +\alpha [/mm] z = -1 |
Hallo alle zusammen!
Unsere Matritx sieht so aus:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & \alpha & | & 1 \\ 1 & -1 & +1 & | & 2 \\ \alpha & 1 & \alpha & | & -1 }
[/mm]
Mit Gauss (Eliminations-Verfahren):
I - II :
2*y + [mm] (\alpha [/mm] -1 )*z = -1
II * (- [mm] \alpha) [/mm] + III :
[mm] (\alpha [/mm] + 1) *y = [mm] -2*\alpha [/mm] -1
Die beiden Ergebnisse jetzt addiert:
2*y + [mm] (\alpha [/mm] -1 )*z = -1 * [mm] (\alpha [/mm] +1)
[mm] (\alpha [/mm] + 1) *y = [mm] -2*\alpha [/mm] -1 * (-2)
[mm] (\alpha [/mm] -1) [mm] *(\alpha [/mm] +1)*z = [mm] 3*\alpha+1
[/mm]
Unsere neue Matrix:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & \alpha & | & 1 \\ 0 & 2 & (\alpha-1) & | & -1 \\ 0 & 0 & (\alpha -1) *(\alpha +1) & | & 3*\alpha+1 }
[/mm]
Wir sehen die kritischen Punkte:
[mm] \alpha [/mm] = 1
und
[mm] \alpha [/mm] = -1
Eingesetzt in die letzte Zeile, habe ich folgende Situation:
0 = 4
und
0 = -2
Also gibt es für diese beiden KEINE Lösung.
Ich habe noch einen Wert von [mm] \alpha [/mm] gefunden welcher z=0 setzt, jedoch dürfte dies kein Problem darstellen, oder?
Somit kann ich sagen, das System hat Lösungen für alle [mm] \alpha \in \IR [/mm] \ {1,-1}
Ist diese Aufgabe somit richtig und vollständig gelöst?
Dankesehr
lg
Zuggel
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Ich weiss nicht ob ich jetzt zu genau bin, aber wenn du mit ALPHA multiplizierst musst du noch den Fall ALPHA = 0 behandeln (Denn solch ein Skalar darf ja dann nicht 0 sein).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 Mi 30.01.2008 | | Autor: | Zuggel |
Das mit 0 wäre mir jetzt etwas komplett neues?!
Es ergäbe irgendwie keinen Sinn das mit 0 zu untersuchen, da es doch keinerlei Einfluss auf die det der Ausgangs-Matritze nimmt, oder doch?
Dieses Lösungs-Verfahren habe ich so von "angela.h.b." übernommen, falls euch das hilft...
lg
Zuggel
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Ich meinte lediglich, dass du während deinen elementaren Matrix-Umformungen offenbar einmal mit dem "unbekannten" Skalar [mm] \alpha [/mm] multiplizierst. Die elementaren Zeilenumformungen sind jedoch so definiert, dass bei
z1 * [mm] \alpha [/mm] + z2 --> z2
zum Beispiel das [mm] \alpha [/mm] nicht 0 sein darf (ist ja auch logisch, man löst ja keine Gleichung indem man auf beiden Seiten mit 0 multipliziert).
Du multiplizierst nun eine Zeile mit diesem "unbekannten" [mm] \alpha, [/mm] kannst also in den weiteren Umformungen nicht mehr [mm] \alpha [/mm] = 0 mit einschließen (Da du sonst diese vorherige Umformung nicht hättest machen können). Deswegen ist es meiner Meinung nach nötig, zuvor mit der Ausgangsmatrix den Fall [mm] \alpha [/mm] = 0 durchzuspielen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:36 Mi 30.01.2008 | | Autor: | Zuggel |
Ja ok das ist mir klar, aber die Multiplikation mit 0 erscheint mir hier nicht als Problem, wennschon wenn deine Division stattfindet, dann wäre das sicherlich ein Problem.
Aber ich vereinfache meine Matrix doch nur mit Gauss um dann letztendlich auf der gleichen Problemstellung weiterzuarbeiten wobei ich die det der Koeffizientenmatrix und der erweiterten Koeffizientenmatrix betrachten und analysieren muss...
Du verwirrst mich jetzt etwas mit dem [mm] \alpha [/mm] = 0, sicher hat es keinen Sinn den Fall 0 = 0 zu untersuchen, aber diesen Fall suche ich ja gerade indem ich die Werte für [mm] \alpha [/mm] untersuche wo die det = 0 ist.
lg
Zuggel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:05 Mi 30.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast mit deinen Zweifeln recht, alpha=0 behandelst du mit.
aber du musst noch sagen, dass du eindeutige Lösungen kriegst.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:28 Mi 30.01.2008 | | Autor: | Zuggel |
Also ist das [mm] \alpha [/mm] = 0 bereits durch das bestimmen der determinante ausgeschlossen worden?
Ja also ich bekomme eine Lösung für alle [mm] \alpha [/mm] aus [mm] \IR [/mm] auser 1 und -1, dann habe ich immer genau eine Lösung! Das dürfte wohl reichen, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:58 Mi 30.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
so wies rauskam ist [mm] \alpha=0 [/mm] ein möglicher Wert von [mm] \alpha. [/mm] wenn das System in der letzten Zeile etwa [mm] \alpha*(\alpha+1) [/mm] gehabt hätte, hättest du eben [mm] \alpha=0 [/mm] ausschliessen müssen. d.h. die möglichkeit [mm] \alpha [/mm] =0 geht ja nirgends verloren, es sei denn du hättest durch [mm] \alpha [/mm] dividiert, das hattest du ja selbst gesehen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:25 Do 31.01.2008 | | Autor: | Zuggel |
> Hallo
> so wies rauskam ist [mm]\alpha=0[/mm] ein möglicher Wert von
> [mm]\alpha.[/mm] wenn das System in der letzten Zeile etwa
> [mm]\alpha*(\alpha+1)[/mm] gehabt hätte, hättest du eben [mm]\alpha=0[/mm]
> ausschliessen müssen. d.h. die möglichkeit [mm]\alpha[/mm] =0 geht
> ja nirgends verloren, es sei denn du hättest durch [mm]\alpha[/mm]
> dividiert, das hattest du ja selbst gesehen.
> Gruss leduart
Ok dankesehr!
Mein Gedanke ist mir klar, aber wenn ich dividire durch [mm] \alpha, [/mm] muss ich dann sofort schon in Betracht ziehen, dass [mm] \alpha [/mm] nicht null sein kann, oder nur dann, wenn auf effektiv in der Matrix die Form von [mm] 1/\alpha [/mm] (o.ä.) auftritt?
Also kurzgefasst gilt die Untersuchung von [mm] \alpha= [/mm] 0 ab hier:
- f(x,y) * [mm] (1/\alpha)
[/mm]
oder wenn in der letzten Zeile z.B.:
[mm] \bruch{1+ \alpha}{\alpha} [/mm] = ....
steht?
lg
Zuggel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:58 Do 31.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
i.A. kommst du beim Umformen linearer GS gar nicht in die Versuchung, zu dividieren.
Wenn doch hast du wie in allen Fällen [mm] \alpha=0 [/mm] ausgeschlossen, weil es ja nicht immer so brav stehen bleibt, wie u angedeutet hast sondern bei a/a einfach verschwindet.
etwa ganz einfach: [mm] a^2+a=0 [/mm] dividiere durch a: a+1=0 die Lösung a=0 ist weg!
Aber nochmal, ich seh nicht, wie das beim Lösen von LGS vorkommen sollte.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:46 Do 31.01.2008 | | Autor: | Zuggel |
Da hast du wohl Recht. Aber ich frage immer lieber nach, weil mir das oft passiert ist, dass ich dachte, das passiert eh nie, und dann stand man vor dem Problem und die Zweifel sprudelten wie aus einer Quelle, einer nach dem anderen!
Dankesehr für die Beantwortung
lg
Zuggel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:01 Mi 30.01.2008 | | Autor: | canuma |
Hi..
Also ich komme auf die selbe Lösung und denke das du die Aufgabe somit fertig hast.
Würde aber noch angeben, wieviele Lösungen es gibt. Also es könnten ja auch unendlich viele Lösungen sein, was hier aber nicht der Fall ist.
Für a²=1 gibt es keine Lösung, für alle anderen a gibt es eine Lösung.
lg canuma
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