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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo!
Bei der obigen Aufgabe komme ich nicht so recht weiter. Ich habe zwar immer Vermutungen, weiß aber nicht genau wie ich "mathematisch" an die Sache herangehen soll, weil es sich ja nicht um normale Potenzreihen von 0 bis [mm] \infty [/mm] handelt, bei welchen man das Quotienten- oder Cauchy-Kriterium anwenden könnte.
Bei der ersten Reihe, [mm] \sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{z^{n}}{|n|!} [/mm] könnte ich vielleicht die Reihe aufteilen (weiß aber nicht, ob das überhaupt erlaubt ist):
[mm] \sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{z^{n}}{|n|!} [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!} [/mm] + [mm] \sum_{n=-\infty}^{-1}\frac{z^{n}}{(-n)!}
[/mm]
Dann könnte ich sagen, dass der erste Summand für alle z konvergiert (Exponentialreihe). Bei dem zweiten würde ich das auch behaupten, kann es aber nicht ausreichend begründen. Insgesamt würde ich sagen, dass diese Reihe für alle [mm] z\in\IC [/mm] konvergiert.
Bei der zweiten Reihe würde ich sagen, dass es die Kugel mit Radius 1 um 1 ist, inspiriert von der geometrischen Reihe.
Bei der dritten habe ich überhaupt keine Idee.
Der Bereich wird wahrscheinlich eine Kugel um [mm] z_{0} [/mm] sein, der Radius hängt natürlich von c ab. Ich würde behaupten, dass der Radius [mm] \frac{1}{c} [/mm] ist.
Wäre über Hilfe erfreut 
Grüße, Stefan.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:53 Do 09.07.2009 | | Autor: | felixf |
Moin Stefan!
> [Dateianhang nicht öffentlich]
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> Bei der obigen Aufgabe komme ich nicht so recht weiter. Ich
> habe zwar immer Vermutungen, weiß aber nicht genau wie ich
> "mathematisch" an die Sache herangehen soll, weil es sich
> ja nicht um normale Potenzreihen von 0 bis [mm]\infty[/mm] handelt,
> bei welchen man das Quotienten- oder Cauchy-Kriterium
> anwenden könnte.
>
> Bei der ersten Reihe,
> [mm]\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{z^{n}}{|n|!}[/mm] könnte ich
> vielleicht die Reihe aufteilen (weiß aber nicht, ob das
> überhaupt erlaubt ist):
Es ist erlaubt, man muss es sogar so machen.
> [mm]\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{z^{n}}{|n|!}[/mm] =
> [mm]\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!}[/mm] +
> [mm]\sum_{n=-\infty}^{-1}\frac{z^{n}}{(-n)!}[/mm]
>
> Dann könnte ich sagen, dass der erste Summand für alle z
> konvergiert (Exponentialreihe).
Genau.
> Bei dem zweiten würde ich
> das auch behaupten, kann es aber nicht ausreichend
> begründen. Insgesamt würde ich sagen, dass diese Reihe
> für alle [mm]z\in\IC[/mm] konvergiert.
Beim zweiten Summanden solltest du nicht $z = 0$ einsetzen. Aber substitutier doch mal $u = 1/z$; dann bekommst du heraus, dass der zweite Summand [mm] $\exp(u) [/mm] - 1$ ist.
> Bei der zweiten Reihe würde ich sagen, dass es die Kugel
> mit Radius 1 um 1 ist, inspiriert von der geometrischen
> Reihe.
Bei der geometrischen Reihe wird nicht durch [mm] $n^2 [/mm] + 1$ geteilt. Erstens solltest du hier wieder $z = 1$ ausschliessen. Dann unterteil die Reihe wieder. Genau wie eben erhaelst du fast zweimal die gleiche Reihe, einmal halt fuer $u = z - 1$ und einmal fuer $u = [mm] \frac{1}{z - 1}$.
[/mm]
Du bekommst also die Konvergenz fuer $|z - 1| < r$ und $|z - 1| > 1/r$ fuer ein $r [mm] \in \IR$, [/mm] und fuer $= r$ musst du dir genauer die Punkte anschauen.
> Bei der dritten habe ich überhaupt keine Idee.
Genau das gleiche wie gerade. Nur dass du diesmal den Parameter $c$ hast.
> Der Bereich wird wahrscheinlich eine Kugel um [mm]z_{0}[/mm] sein,
> der Radius hängt natürlich von c ab. Ich würde
> behaupten, dass der Radius [mm]\frac{1}{c}[/mm] ist.
Du musst hier genau wie oben vorgehen. Und wenn schon fliesst $|c|$ in den Radius ein, nicht $c$ selber. Der Radius soll ja eine nicht-negative reelle Zahl sein!
LG Felix
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Hallo!
Danke für deine Antwort, Felix! Hat mir sehr geholfen
Bei der ersten Laurentreihe [mm] \sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{z^{n}}{|n|!} [/mm] würde ich dann also schreiben:
[mm] $\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{z^{n}}{|n|!} [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!} [/mm] + [mm] \sum_{n=-\infty}^{-1}\frac{z^{n}}{(-n)!}$
[/mm]
Erster Summand hat den Konvergenzradius [mm] \infty [/mm] um Entwicklungspunkt 0, d.h. konvergiert für [mm] z\in\IC.
[/mm]
Beim zweiten Summanden ist zunächst [mm] z\not=0 [/mm] ersichtlich. Der zweite Summand lässt sich mit [mm] $u=z^{-1}$ [/mm] umschreiben zu:
[mm] $\sum_{n=-\infty}^{-1}\frac{z^{n}}{(-n)!} [/mm] = [mm] \sum_{n=1}^{\infty}\frac{u^{n}}{n!} [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^{\infty}\frac{u^{n}}{n!}-1$
[/mm]
D.h. Die Reihe in u besitzt einen Konvergenzradius von [mm] \infty [/mm] um 0, d.h. [mm] u\in\IC\textbackslash\{0\}. [/mm] Wegen $z = [mm] u^{-1}$ [/mm] bedeutet das damit auch [mm] z\in\IC\textbackslash\{0\}.
[/mm]
Damit wäre der Konvergenzbereich der ursprünglichen Reihe zusammengefasst [mm] \IC\textbackslash\{0\}, [/mm] darf man das nun einfach so sagen?
------
Ich probier jetzt nochmal bei der zweiten Reihe [mm] \sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(z-1)^{2n}}{n^{2}+1} [/mm] auf einen Konvergenzbereich zu kommen. Es ist
[mm] $\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(z-1)^{2n}}{n^{2}+1} [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(z-1)^{2n}}{n^{2}+1} [/mm] + [mm] \sum_{n=-\infty}^{-1}\frac{(z-1)^{2n}}{n^{2}+1}$
[/mm]
Nun setze ich beim ersten Summanden $u = z-1$ und erhalte: [mm] \sum_{n=0}^{\infty}\frac{u^{2n}}{n^{2}+1} [/mm] und damit einen Konvergenzradius von 1 für u um 0, d.h. einen Konvergenzradius von 1 für z um 1 [mm] \Rightarrow $z\in\B_{1}(1)\subset\IC$. [/mm] Ich würde sogar sagen, dass auch der Rand der Kugel im Konvergenzbereich der Reihe enthalten ist.
Beim zweiten Summanden setze ich $u = [mm] \frac{1}{z-1}$ [/mm] und erhalte:
[mm] $\sum_{n=-\infty}^{-1}\frac{(z-1)^{2n}}{n^{2}+1} [/mm] = [mm] \sum_{n=1}^{\infty}\frac{u^{2n}}{n^{2}+1}$
[/mm]
Damit hat die Reihe wieder einen Konvergenzradius von 1 für u um 0, d.h. [mm] $u\in B_{1}(0)$ [/mm] + Rand?. Wegen [mm] $z=\frac{1}{u}+1$ [/mm] folgt dann für z eigentlich [mm] $z\in\IC\textbackslash B_{1}(0)$ [/mm] + Rand?.
Das würde aber bedeuten, dass die Ausgangsreihe höchstens (wenn meine Vermutungen richtig waren), auf dem Kreisring mit Radius 1 um 0 konvergiert?
Stimmen meine Überlegungen?
Viele Grüße, Stefan.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:23 Fr 10.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
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> Danke für deine Antwort, Felix! Hat mir sehr geholfen
> Bei der ersten Laurentreihe
> [mm]\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{z^{n}}{|n|!}[/mm] würde ich dann
> also schreiben:
>
> [mm]\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{z^{n}}{|n|!} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!} + \sum_{n=-\infty}^{-1}\frac{z^{n}}{(-n)!}[/mm]
>
> Erster Summand hat den Konvergenzradius [mm]\infty[/mm] um
> Entwicklungspunkt 0, d.h. konvergiert für [mm]z\in\IC.[/mm]
> Beim zweiten Summanden ist zunächst [mm]z\not=0[/mm] ersichtlich.
> Der zweite Summand lässt sich mit [mm]u=z^{-1}[/mm] umschreiben
> zu:
>
> [mm]\sum_{n=-\infty}^{-1}\frac{z^{n}}{(-n)!} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{u^{n}}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{u^{n}}{n!}-1[/mm]
>
> D.h. Die Reihe in u besitzt einen Konvergenzradius von
> [mm]\infty[/mm] um 0, d.h. [mm]u\in\IC\textbackslash\{0\}.[/mm] Wegen [mm]z = u^{-1}[/mm]
> bedeutet das damit auch [mm]z\in\IC\textbackslash\{0\}.[/mm]
> Damit wäre der Konvergenzbereich der ursprünglichen
> Reihe zusammengefasst [mm]\IC\textbackslash\{0\},[/mm] darf man das
> nun einfach so sagen?
Klar doch
>
> ------
>
> Ich probier jetzt nochmal bei der zweiten Reihe
> [mm]\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(z-1)^{2n}}{n^{2}+1}[/mm] auf
> einen Konvergenzbereich zu kommen. Es ist
>
> [mm]\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(z-1)^{2n}}{n^{2}+1} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(z-1)^{2n}}{n^{2}+1} + \sum_{n=-\infty}^{-1}\frac{(z-1)^{2n}}{n^{2}+1}[/mm]
>
> Nun setze ich beim ersten Summanden [mm]u = z-1[/mm] und erhalte:
> [mm]\sum_{n=0}^{\infty}\frac{u^{2n}}{n^{2}+1}[/mm] und damit einen
> Konvergenzradius von 1 für u um 0, d.h. einen
> Konvergenzradius von 1 für z um 1 [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]z\in\B_{1}(1)\subset\IC[/mm]. Ich würde sogar sagen, dass auch
> der Rand der Kugel im Konvergenzbereich der Reihe enthalten
> ist.
>
> Beim zweiten Summanden setze ich [mm]u = \frac{1}{z-1}[/mm] und
> erhalte:
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> [mm]\sum_{n=-\infty}^{-1}\frac{(z-1)^{2n}}{n^{2}+1} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{u^{2n}}{n^{2}+1}[/mm]
>
> Damit hat die Reihe wieder einen Konvergenzradius von 1
> für u um 0, d.h. [mm]u\in B_{1}(0)[/mm] + Rand?. Wegen
> [mm]z=\frac{1}{u}+1[/mm] folgt dann für z eigentlich
> [mm]z\in\IC\textbackslash B_{1}(0)[/mm] + Rand?.
> Das würde aber bedeuten, dass die Ausgangsreihe
> höchstens (wenn meine Vermutungen richtig waren), auf dem
> Kreisring mit Radius 1 um 0 konvergiert?
Wenn Du die z in [mm] \IC [/mm] mit $|z|=1$ meinst, dann hast Du recht.
Zur 3. Reihe: die konvergiert für kein z ! (geometrische Reihe)
FRED
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> Stimmen meine Überlegungen?
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> Viele Grüße, Stefan.
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