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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:08 Di 01.09.2009 | | Autor: | fastgiga |
| Aufgabe | Ist folgende Reihe konvergent oder divergent?
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} 3^{n}/(2^{n}*(2n+1)) [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Nunja, sie ist divergent, aber der Weg auf dem ich da hingekommen bin...der is nicht ganz so....brilliant.
Also, erstmal hab ich die reihe umgeformt zu:
[mm] (3/2)^{n}/2n+1
[/mm]
da hab ich mir dann gedacht, das die [mm] (3/2)^{n} [/mm] ja immer weiter wächst, und des 1/2n+1 gegen null strebt. Nur was ist stärker?
Ich hab also erstmal die ersten paar folgenglieder aufgeschrieben und hab dabei festgestellt, dass diese immer kleiner werden, also dachte ich mir das die reihe vielleicht doch konvergent ist. des konnte ich mir nicht so wirklich vorstellen, da [mm] 3^n [/mm] eigentlich viel stärker wachsen müsste als der rest fellt. Also hab ich weiter folgeglieder ausgerechnet, und am dem 4. hat des [mm] 3^n [/mm] dann gewonnen und die folgeglieder sind ab dann immer größer geworden -> Folge ist doch divergent.
Zwar kann man nicht sagen dass es unzumutbar wäre eine Reihe bis zum 4. glied auszurechnen, aber dennoch wäre mir stark geholfen, wenn mir jmd einen eleganteren weg zeigen könnte, mit dem man auf des ergebnisss kommt. Es gibt ja sicherlich auch Reihen bei dem die Glieder erst ab dem 20. oder 30. wieder wachsen, man müsste bei meiner methode also ziemlich lange rechnen, bis man auf des richtige ergebniss kommen würde...und in ner prüfung fehlt einem dafür meißtens die zeit. Nur irgendwie muss man sowas ja auch lösen können...
Im Vorraus schonmal vielen Dank für eure Hilfe und bis dann
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Hallo fastgiga,
> Ist folgende Reihe konvergent oder divergent?
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} 3^{n}/(2^{n}*(2n+1))[/mm]
> Ich habe diese
> Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
>
> Nunja, sie ist divergent, ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") aber der Weg auf dem ich da
> hingekommen bin...der is nicht ganz so....brilliant.
>
> Also, erstmal hab ich die reihe umgeformt zu:
>
> [mm] $(3/2)^{n}/\red{(}2n+1\red{)}$ [/mm]
>
> da hab ich mir dann gedacht, das die [mm](3/2)^{n}[/mm] ja immer
> weiter wächst, und des 1/2n+1 gegen null strebt. Nur was
> ist stärker?
Na, die Potenzen natürlich 
>
> Ich hab also erstmal die ersten paar folgenglieder
> aufgeschrieben und hab dabei festgestellt, dass diese immer
> kleiner werden, also dachte ich mir das die reihe
> vielleicht doch konvergent ist. des konnte ich mir nicht so
> wirklich vorstellen, da [mm]3^n[/mm] eigentlich viel stärker
> wachsen müsste als der rest fellt. Also hab ich weiter
> folgeglieder ausgerechnet, und am dem 4. hat des [mm]3^n[/mm] dann
> gewonnen und die folgeglieder sind ab dann immer größer
> geworden -> Folge ist doch divergent.
>
> Zwar kann man nicht sagen dass es unzumutbar wäre eine
> Reihe bis zum 4. glied auszurechnen, aber dennoch wäre mir
> stark geholfen, wenn mir jmd einen eleganteren weg zeigen
> könnte, mit dem man auf des ergebnisss kommt. Es gibt ja
> sicherlich auch Reihen bei dem die Glieder erst ab dem 20.
> oder 30. wieder wachsen, man müsste bei meiner methode
> also ziemlich lange rechnen, bis man auf des richtige
> ergebniss kommen würde...und in ner prüfung fehlt einem
> dafür meißtens die zeit. Nur irgendwie muss man sowas ja
> auch lösen können...
Nun, es gibt doch zahlreiche Konvergenzkriterien, hier drängt sich das Wurzelkriterium doch förmlich auf.
Berechne mal [mm] $\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\left(\frac{3}{2}\right)^n\cdot{}\frac{1}{2n+1}\right|}$
[/mm]
Das WK besagt ja, dass, wenn dieser Limes superior <1 ist, die Reihe konvergent ist und falls er >1 ist, die Reihe divergent ist.
Also ...
Alternativ kannst du auch das Quotientenkriteríum heranziehen und mal [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ [/mm] mit [mm] $a_n=\left(\frac{3}{2}\right)^n\cdot{}\frac{1}{2n+1}$ [/mm] berechnen
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> Im Vorraus schonmal vielen Dank für eure Hilfe und bis
> dann
Gruß
schachuzipus
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