Konverg.aussagen Folgen (w/f) < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Entscheiden Sie ob folgende Aussagen richtug oder falsch sind. Geben Sie jew. zu richtigen Aussagen wenn möglich eine kurze Begründung, zu falschen stets ein Gegenbeispiel.
a) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_n=x \wedge \limes_{n\rightarrow\infty}y_n=y \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}(x_n+y_n) [/mm] = x+y
b) Wenn [mm] (x_n) [/mm] und [mm] (y_n) [/mm] konvergieren, dann auch [mm] (x_n+y_n).
[/mm]
c) Wenn weder [mm] (x_n) [/mm] noch [mm] (y_n) [/mm] konvergieren, dann auch nicht [mm] (x_n+y_n).
[/mm]
d) Wenn [mm] (x_n) [/mm] konvergiert, aber [mm] (y_n) [/mm] nicht, dann konvergiert [mm] (x_n+y_n) [/mm] auch nicht.
e) Wenn [mm] (x_n) [/mm] eine Nullfolge ist und [mm] (y_n) [/mm] irgendeine Folge, dann ist [mm] (x_n*y_n) [/mm] eine Nullfolge.
f) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_n=x\not=0 \wedge \limes_{n\rightarrow\infty}y_n=0 \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{x_n}{y_n})=\infty [/mm] |
Hi
Also ich bräuchte bei einigen von diesen Aussagen Hilfe bzw. Bestätigung/Korrektur, ob ich das richtig deute. Bin mir da an einigen Stellen recht unsicher, weil ich in der Materie noch nicht so richtig drin bin.
a) ist wahr, weil das eine alg. bekannte Rechenregel für Folgen ist (steht in meiner Formelsammlung und hatten wir so in der Vorlesung. Das müsste als Begründung doch genügen) ... naja theoretisch :D
b) wahr, da es sich aus a) ableitet (so haben das meine Kommolitonen begründet). Ich frag mich an dieser Stelle nur, was wenn meine 1. Folge [mm] x_n [/mm] jetzt z.B. gg. 5 Konv. und meine 2. Folge [mm] y_n [/mm] gg. -3 gilt dann einfach trotzdem [mm] x_n+y_n [/mm] und demnach dann = 2 ???
c) würde ich auch als wahr angeben. Wenn ich eine Folge habe die gg. [mm] \infty [/mm] geht und eine zweite die auch gg. [mm] \infty [/mm] geht dann ist das zusammen immernoch [mm] \infty [/mm] und damit nicht konvergent.
d) wahr, geht die erste gg. 3 und die zweite gegen [mm] \infty [/mm] dann ist das zusmammen doch immernoch [mm] \infty [/mm] oder?
e) wahr, eine Rechenregel besagt, dass[ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_n=x \wedge \limes_{n\rightarrow\infty}y_n=y \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}(x_n*y_n)=x*y [/mm] ] ist und das würde bedeuten wenn einer der Grenzwerte Null ist dann ist das ingesamt auch Null ...
jetzt zweifel ich bloß langsam weil das doch nicht alles wahr sein kann wer stellt denn solche Aufgaben ?? ;)
f) falsch, müsste da nicht Null rauskommen? Ich meine wenn der zweite granzwert also der von [mm] y_n [/mm] Null ist und im Nenner Null steht, dann kann der Grenzwert von [mm] \bruch{x_n}{y_n} [/mm] doch nicht [mm] \infty [/mm] sein sondern ist auch Null oder?
grüße
sub
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:03 So 13.04.2008 | | Autor: | pelzig |
> Entscheiden Sie ob folgende Aussagen richtug oder falsch
> sind. Geben Sie jew. zu richtigen Aussagen wenn möglich
> eine kurze Begründung, zu falschen stets ein
> Gegenbeispiel.
>
> a) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}x_n=x \wedge \limes_{n\rightarrow\infty}y_n=y \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}(x_n+y_n)[/mm]
> = x+y
>
> b) Wenn [mm](x_n)[/mm] und [mm](y_n)[/mm] konvergieren, dann auch [mm](x_n+y_n).[/mm]
>
> c) Wenn weder [mm](x_n)[/mm] noch [mm](y_n)[/mm] konvergieren, dann auch
> nicht [mm](x_n+y_n).[/mm]
>
> d) Wenn [mm](x_n)[/mm] konvergiert, aber [mm](y_n)[/mm] nicht, dann
> konvergiert [mm](x_n+y_n)[/mm] auch nicht.
>
> e) Wenn [mm](x_n)[/mm] eine Nullfolge ist und [mm](y_n)[/mm] irgendeine
> Folge, dann ist [mm](x_n*y_n)[/mm] eine Nullfolge.
>
> f) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}x_n=x\not=0 \wedge \limes_{n\rightarrow\infty}y_n=0 \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{x_n}{y_n})=\infty[/mm]
>
> Hi
>
> Also ich bräuchte bei einigen von diesen Aussagen Hilfe
> bzw. Bestätigung/Korrektur, ob ich das richtig deute. Bin
> mir da an einigen Stellen recht unsicher, weil ich in der
> Materie noch nicht so richtig drin bin.
>
> a) ist wahr, weil das eine alg. bekannte Rechenregel für
> Folgen ist (steht in meiner Formelsammlung und hatten wir
> so in der Vorlesung. Das müsste als Begründung doch
> genügen) ... naja theoretisch :D
ok
> b) wahr, da es sich aus a) ableitet (so haben das meine
> Kommolitonen begründet).
absolut richtig.
> Ich frag mich an dieser Stelle
> nur, was wenn meine 1. Folge [mm]x_n[/mm] jetzt z.B. gg. 5 Konv. und
> meine 2. Folge [mm]y_n[/mm] gg. -3 gilt dann einfach trotzdem
> [mm]x_n+y_n[/mm] und demnach dann = 2 ???
ja.
> c) würde ich auch als wahr angeben. Wenn ich eine Folge
> habe die gg. [mm]\infty[/mm] geht und eine zweite die auch gg.
> [mm]\infty[/mm] geht dann ist das zusammen immernoch [mm]\infty[/mm] und
> damit nicht konvergent.
falsch, betrachte [mm] $x_n=n$ [/mm] und [mm] $y_n=-n$.
[/mm]
Die Regel [mm] $\lim_{n\to\infty}x_n=x, \lim_{n\to\infty}y_n=y\Rightarrow\lim_{n\to\infty}x_n+y_n=x+y$ [/mm] macht für den Fall, dass eine der beiden Folgen divergiert, KEINE Aussage, deshalb kannst du die hier auch nicht zur Begründung benutzen
> d) wahr, geht die erste gg. 3 und die zweite gegen [mm]\infty[/mm]
> dann ist das zusmammen doch immernoch [mm]\infty[/mm] oder?
Diesmal ist die Aussage tatsächlich wahr, aber deine Begründung ist nicht ausreichend (siehe Aufgabe c)). Man kann es aber indirekt sehr elegant damit beweisen:
Angenommen, [mm] $x_n+y_n$ [/mm] würde konvergieren, dann würde nach den Rechenregeln konv. ZF auch [mm] $(x_n+y_n)+((-1)\cdot x_n)=y_n$ [/mm] konvergieren, Widerspruch.
Dies verdeutlicht, wie man auch die richtigen Mittel manchmal leider falsch einsetzt, weil man die Voraussetzungen nicht genau beachtet.
> e) wahr, eine Rechenregel besagt, dass[
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}x_n=x \wedge \limes_{n\rightarrow\infty}y_n=y \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}(x_n*y_n)=x*y[/mm]
> ] ist und das würde bedeuten wenn einer der Grenzwerte Null
> ist dann ist das ingesamt auch Null ...
>
> jetzt zweifel ich bloß langsam weil das doch nicht alles
> wahr sein kann wer stellt denn solche Aufgaben ?? ;)
falsch, betrachte [mm] $x_n=1/n$ [/mm] und [mm] $y_n=n^2$.
[/mm]
> f) falsch, müsste da nicht Null rauskommen? Ich meine wenn
> der zweite granzwert also der von [mm]y_n[/mm] Null ist und im
> Nenner Null steht, dann kann der Grenzwert von
> [mm]\bruch{x_n}{y_n}[/mm] doch nicht [mm]\infty[/mm] sein sondern ist auch
> Null oder?
falsch (also deine Aussage + Begründung), betrachte z.B. [mm] $x_n=1$ [/mm] und [mm] $y_n=1/n$, [/mm] dann geht das insgesamt gegen [mm] $\infty$.
[/mm]
Anschauliche Begründung: der Zähler ist konvergent und somit beschränkt, aber der Nenner geht immer näher an Null, somit wächst der Bruch insgesamt unbeschränkt (bzw. fällt gegen [mm] $-\infty$). [/mm]
Ich weiß nicht wie genau eure Begründungen sein müssen, da du ja keine reine Mathematik oder sowas studierst, aber die Tatsache, dass eine Aussage bei einem, zwei, oder sogar unendlich vielen Beispielen funktioniert, ist i.A. kein Beweis, dass es auch im allgemeinen Fall immer funktioniert. Egal wieviel Mathematik von euch abverlangt wird, solltest du dies bei deinen Begründungen immer im Hinterkopf behalten. Beispiele sind aber trotzdem auch für Mathematiker sehr sehr wichtig (!), um an ihnen zu untersuchen warum etwas klappt oder nicht klappt.
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Hi
danke das hat mir schonmal sehr weiter geholfen.
Zu dem letzten Absatz: Das viele funktionierende Bsp. kein Beweis sind weiß ich wohl, von uns wird nur eine gut einleuchtende Begründung (kein Beweis in dieser Aufg.) verlangt daher sollte das, so wie ich das gemacht habe, sofern es denn richtig ist, wohl gehen.
zu c)
Also wenn ich diese Rechenregel nicht benutzen darf weil sie über divergente Folgen keine Aussage macht, gibt es da dann eine andere Regel die passend wäre?
Oder anders. Wenn ich das Bsp. [mm] x_n=n [/mm] & [mm] y_n=-n [/mm] betrachte, dann geht das eine gg. [mm] -\infty [/mm] und das andere gg. [mm] \infty. [/mm] Schließt sich das dann zusammen gg. 0 (Nullfolge) ? Und wenn ja wie, da ich ja die regel x+y nicht benutzen darf :) ?!
zu d)
> Diesmal ist die Aussage tatsächlich wahr, aber deine
> Begründung ist nicht ausreichend (siehe Aufgabe c)). Man
> kann es aber indirekt sehr elegant damit beweisen:
>
> Angenommen, [mm]x_n+y_n[/mm] würde konvergieren, dann würde nach den
> Rechenregeln konv. ZF auch [mm](x_n+y_n)+((-1)\cdot x_n)=y_n[/mm]
> konvergieren, Widerspruch.
>
was heißt ZF?
sorry verstehe leider den Beweis nicht richtig also:
[mm](x_n+y_n)+((-1\cdot x_n)=y_n[/mm] soll ein Wiederspruch sein. Wie kommen diese Beziehungen zustande?
> Dies verdeutlicht, wie man auch die richtigen Mittel
> manchmal leider falsch einsetzt, weil man die
> Voraussetzungen nicht genau beachtet.
was meinst du damit?
zu f)
> falsch (also deine Aussage + Begründung), betrachte z.B.
> [mm]x_n=1[/mm] und [mm]y_n=1/n[/mm], dann geht das insgesamt gegen [mm]\infty[/mm].
> Anschauliche Begründung: der Zähler ist konvergent und
> somit beschränkt, aber der Nenner geht immer näher an Null,
> somit wächst der Bruch insgesamt unbeschränkt (bzw. fällt
> gegen [mm]-\infty[/mm]).
wieso ist die Aussage Falsch? Hast du mir nicht grade gezeigt, dass sie richtig ist und das tatsächlich ins unendliche wächst? Meine Begründung ist falsch das sehe ich ein
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:53 So 13.04.2008 | | Autor: | MacMath |
Hallo :)
> zu c)
[...]
> Schließt sich das dann zusammen gg. 0 (Nullfolge) ? Und
> wenn ja wie, da ich ja die regel x+y nicht benutzen darf :)
> ?!
Du darfst bei Divergenten Folgen nicht die limiten addieren, weil sie nicht existieren. In dem genannten Beispiel mit [mm] \pm [/mm] n heben sich NICHT [mm] \infty [/mm] und [mm] -\infty [/mm] auf, sondern es gilt direkt: [mm] x_n+y_n=0 [/mm] für alle [mm] n\in\IN [/mm]
Die konstante Folge konvergiert gegen ihren Wert, in diesem Fall also 0
>
> zu d)
Woher kommt der Widerspruch?
Angenommen [mm] x_n [/mm] und [mm] x_n+y_n [/mm] konvergieren, dann kannst du auf diese beiden Folgen a) anwenden: Also konvergiert auch [mm] y_n=(x_n+y_n) [/mm] - [mm] x_n, [/mm] was im Widerspruch zur Aufgabenstellung steht.
Bei f ist das nur ein Missverständnis, er meinte nicht die Aussage, sondern deine Begründung.
Jetzt alles klar?
Gruß Daniel :)
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Noch nicht ganz :)
zu c)
hm also das man die limiten bei div. Folgen nicht addieren darf leuchtet mir jetzt ein.
Aber dann schreibst du das in meinem Beispiel das doch konvergiert und zwar in jedem Fall gegen 0. Das würde dann ja bedeuten die Aussage ist falsch und die beiden Folgen Konv. doch und zwar gg 0.
Wenn ich die limiten (die nicht existieren) aber nicht addieren darf dann kann ja auch nichts konv. und damit wäre die Aussage ja wieder richtig denn die sagt ja x+y konv. nicht. Bin etwas verwirrt :D
zu d)
worin genau besteht der Wiederspruch. Ich hab mir dazu mal indirekter Beweis durchgelesen aber ich kanns nicht so recht auf diese Situation übertragen. Tu mir da irgendwie schwer mit :) habt mir aber bis hierhin schon viel geholfen.
f) ok verstanden
grüße
sub
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:25 So 13.04.2008 | | Autor: | pelzig |
> Noch nicht ganz :)
>
> zu c)
> hm also das man die limiten bei div. Folgen nicht addieren
> darf leuchtet mir jetzt ein.
> Aber dann schreibst du das in meinem Beispiel das doch
> konvergiert und zwar in jedem Fall gegen 0. Das würde dann
> ja bedeuten die Aussage ist falsch und die beiden Folgen
> Konv. doch und zwar gg 0.
> Wenn ich die limiten (die nicht existieren) aber nicht
> addieren darf dann kann ja auch nichts konv. und damit wäre
> die Aussage ja wieder richtig denn die sagt ja x+y konv.
> nicht. Bin etwas verwirrt :D
In dem Beispiel mit [mm] $\pm [/mm] n$ war es Zufall, das 0 rauskam. Nimm dir ein Beliebiges [mm] $a\in\IR$, [/mm] dann divergieren die beiden Folgen
[mm] $x_n=n+a$, $y_n=-n$, [/mm] aber [mm] $x_n+y_n=n+a-n=a$ [/mm] konvergiert (da konstant gegen) a. Für [mm] $x_n=y_n=n$ [/mm] divergiert aber natürlich auch [mm] $x_n+y_n=2n$. [/mm] Es kann also einfach alles passieren, es lässt sich keine Aussage treffen.
> zu d)
> worin genau besteht der Wiederspruch. Ich hab mir dazu mal
> indirekter Beweis durchgelesen aber ich kanns nicht so
> recht auf diese Situation übertragen. Tu mir da irgendwie
> schwer mit :) habt mir aber bis hierhin schon viel
> geholfen.
Ja wir haben gezeigt, dass wenn [mm] $x_n$, $x_n+y_n$ [/mm] konvergieren und [mm] $y_n$ [/mm] divergiert, dann konvergiert [mm] $y_n$. [/mm] Es kann aber nicht [mm] $y_n$ [/mm] gleichzeitig konvergieren und divergieren, darin besteht der Widerspruch. Daraus folgt dass unsere Annahme [mm] $x_n+y_n$ [/mm] konvergiert, falsch sein muss.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:33 So 13.04.2008 | | Autor: | suburbian2 |
AHA :)
danke. Hab verstanden denke ich.
grüße
sub
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