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| Aufgabe | | Seien [mm] (z_{k})_{ k\in \IN} [/mm] eine konvergente Folge komplexer Zahlen und [mm] \mu \in [/mm] IC. Zeigen Sie [mm] \mu \limes_{n\rightarrow\infty} z_{n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \mu z_{n}. [/mm] |
Mein Problem bei der Aufgabe ist, dass ich echt nicht weiß, wie ich damit beginne, ich brauche Tipps für Ansätze..
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Hallo,
> Seien [mm](z_{k}) n\in \IN[/mm] eine konvergente Folge komplexer
> Zahlen und [mm]\mu \in[/mm] IC. Zeigen Sie [mm]\mu \limes_{n\rightarrow\infty} z_{k}[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \mu z_{k}.[/mm]
> Mein Problem bei
> der Aufgabe ist, dass ich echt nicht weiß, wie ich damit
> beginne, ich brauche Tipps für Ansätze..
Wie habt ihr denn Konvergenz in den komplexen Zahlen definiert?
So (?):
[mm] $\lim_{n\to\infty}w_n [/mm] = w$ [mm] \quad\gdw\quad $|w_n [/mm] - w| [mm] \to [/mm] 0$ (wobei $|.|$ Absolutbetrag)
Für den Beweis:
Definiere zunächst: [mm] $\lim_{n\to\infty} z_n [/mm] =: z$. Du hast also als Voraussetzung: [mm] $|z_n [/mm] - z| [mm] \to [/mm] 0$.
Du musst zeigen: [mm] $\mu \cdot [/mm] z = [mm] \limes_{n\to\infty}(\mu \cdot z_n)$.
[/mm]
Also musst du zeigen: [mm] $|\mu \cdot z_n [/mm] - [mm] \mu \cdot [/mm] z| [mm] \to [/mm] 0$.
Kannst du das zeigen?
Viele Grüße,
Stefan
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vielen Dank, ich werde mal versuchen es zu zeigen :)
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ich habe mir jetzt Gedanken gemacht, dachte, dass ich das irgendwie mit einer Umgebung von 0 mache, also [mm] U_{\epsilon}(0)\subset [/mm] U. Damit existiert ein [mm] \epsilon [/mm] >0. Dann würde [mm] |z_{n}-z| [/mm] in [mm] U_{\epsilon}(0) [/mm] liegen. Aber ich kriege [mm] \mu [/mm] nicht unter, und glaube, dass mich diese Idee nicht weiter bringt oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:25 Mi 08.05.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
was ist denn mit [mm] abs(\mu*z-\mu*z_n) [/mm] wenn du [mm] \epslon_1=\epsilon/\mu [/mm] setzt?
gruss leduart
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 22:36 Mi 08.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Leduart,
> Hallo
> was ist denn mit [mm]abs(\mu*z-\mu*z_n)[/mm] wenn du
> [mm]\epslon_1=\epsilon/\mu[/mm] setzt?
aua. Zunächst mal muss man [mm] $\mu=0$ [/mm] gesondert behandeln, zum anderen
ist aber [mm] $\mu \in \IC\,.$ [/mm] Ganz schlimm ist das aber nicht:
Für [mm] $\mu \in \IC \setminus \{0\}$ [/mm] benutze man halt [mm] $\epsilon_1:=\epsilon/\red{|}\mu\red{|}\,,$ [/mm] dann ist [mm] $\epsilon_1 [/mm] > 0$...
Gruß,
Marcel
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Sei [mm] z=\limes_{n\rightarrow\infty} z_{n}.
[/mm]
Für [mm] \mu=0 [/mm] gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \mu z_{n}= \mu \limes_{n\rightarrow\infty} z_{n}.
[/mm]
Sei also [mm] \mu \not= [/mm] 0 und [mm] 0<|\mu|. [/mm] Dann gibt es für jedes [mm] \epsilon [/mm] >0 ein [mm] N\in [/mm] IN, so dass [mm] |z_{n}-z|<\bruch{\epsilon}{|\mu|} [/mm] für alle [mm] n\ge [/mm] N gilt.
also folgt: [mm] |\mu z_{n}-\mu z|\le |\mu|*|z_{n}-z| <\epsilon [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] N
Kann ich das so machen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:50 Mi 08.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei [mm]z=\limes_{n\rightarrow\infty} z_{n}.[/mm]
> Für [mm]\mu=0[/mm]
>
> gilt
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \mu z_{n}= \mu \limes_{n\rightarrow\infty} z_{n}.[/mm]
das kann man so stehen lassen, Du kannst aber auch schreiben:
[mm] $$\lim_{n \to \infty} \mu z_n=\lim_{n \to \infty}0=0=0*\lim_{n \to \infty} z_n\,.$$
[/mm]
> Sei also [mm]\mu \not=[/mm] 0 und [mm]0<|\mu|.[/mm]
Die Bedingungen sind gleichwertig: [mm] $\mu \in \IC \setminus \{0\} \iff |\mu| [/mm] > [mm] 0\,.$
[/mm]
Du kannst also schreiben: Für [mm] $\IC \ni \mu \not=0$ [/mm] gilt [mm] $|\mu| [/mm] > [mm] 0\,.$
[/mm]
> Dann gibt es für jedes
> [mm]\epsilon[/mm] >0 ein [mm]N\in[/mm] IN, so dass
> [mm]|z_{n}-z|<\bruch{\epsilon}{|\mu|}[/mm] für alle [mm]n\ge[/mm] N gilt.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> also folgt: [mm]|\mu z_{n}-\mu z|\le |\mu|*|z_{n}-z|[/mm]
Das ist nicht falsch, aber Du kannst auch direkt [mm] $\;=\;$ [/mm] anstatt [mm] $\;\le\;$ [/mm] schreiben. Ist Dir das
klar?
> [mm]<\epsilon[/mm]
> für alle n [mm]\ge[/mm] N
Das ist okay, verwischt aber ein wenig die Logik: Beachte, dass Du hier
zwingend brauchst, dass [mm] $\epsilon/|\mu| [/mm] > 0$ gilt!
Daher fänd' ich's so besser aufgeschrieben:
Sei [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ beliebig.
Wenn für jedes [mm] $\tilde{\epsilon} [/mm] > 0$ ein [mm] $N=N(\tilde{\epsilon}) \in \IN$ [/mm] existiert so, dass
[mm] $$|z_n-z| [/mm] < [mm] \tilde{\epsilon}$$
[/mm]
für alle $n [mm] \ge N\,,$ [/mm] dann existiert insbesondere auch für [mm] $\tilde{\epsilon}=\epsilon_1:=\epsilon/|\mu| [/mm] > 0$ auch...
Aber im Kern:
Gruß,
Marcel
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vielen Dank, ich denke, das kann ich nachvollziehen :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:33 Mi 08.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ich habe mir jetzt Gedanken gemacht, dachte, dass ich das
> irgendwie mit einer Umgebung von 0 mache,
aha... und was machst Du mit der?
> also
> [mm]U_{\epsilon}(0)\subset[/mm] U. Damit existiert ein [mm]\epsilon[/mm] >0.
Logisch steht da Schmarrn. Du nimmst IRGENDEIN [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ her, und hast
dann bzgl. [mm] $U_\epsilon(0)$ [/mm] was zu zeigen!
> Dann würde [mm]|z_{n}-z|[/mm] in [mm]U_{\epsilon}(0)[/mm] liegen.
Ab wann? (Damit meine ich keine Zeit, sondern: Dann existiert zu diesem
[mm] $\epsilon [/mm] > 0$ ein ..., so dass für alle $n [mm] \ge [/mm] $...) gilt...
> Aber ich
> kriege [mm]\mu[/mm] nicht unter, und glaube, dass mich diese Idee
> nicht weiter bringt oder?
Hast Du überhaupt die Definition der Konvergenz verstanden? Denn Dein
Geschreibsel oben sieht - leider - eher nicht danach aus.
Was bedeutet [mm] $z_n \to [/mm] z$ per Definitionem? Wieso ist [mm] $z_n \to [/mm] z$ gleichwertig
zu [mm] $z_n [/mm] -z [mm] \to [/mm] 0$ oder auch zu [mm] $|z_n-z| \to [/mm] 0$?
Und was ist dann hier für [mm] $(\mu z_n)_{n \in \IN}$ [/mm] dann bei der Aufgabe, per Definitionem
oder mit einer der obigen Charakterisierung, zu zeigen? Und kein blabla...;
bitte genau hinschreiben, was zu zeigen ist:
"Ich habe zu zeigen, dass es für jedes [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ein ... gibt mit ..."
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:26 Mi 08.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Seien [mm](z_{k})_{ k\in \IN}[/mm] eine konvergente Folge komplexer
> Zahlen und [mm]\mu \in[/mm] IC. Zeigen Sie [mm]\mu \limes_{n\rightarrow\infty} z_{n}[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \mu z_{n}.[/mm]
ich habe mal DIE GANZE AUFGABENSTELLUNG korrigiert (dass man in solch'
einem kleinen Satz so viele Fehler einbauen kann, ist ja schon fast eine
Kunst).
Du bist doch schon länger dabei: [mm] $\to$ [/mm] VORSCHAUFUNKTION
Und [mm] $\mu$ [/mm] schreibt man so:$\mu$, nicht $\mü$...
P.S. Denk' mal dran, dass Du irgendwann auch Sachen in Latex schreiben
musst. Wenn Du da alles genauso hinschlampst... dann gute Nacht!
Gruß,
Marcel
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