Konvergente Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:59 So 16.11.2014 | | Autor: | mb9168 |
| Aufgabe | Strebt an → 0 und ist (bn) beschränkt, so auch anbn → 0.
Ist nämlich |bn|<β für alle n und bestimmt man nach Wahl von ε<0 ein n0, so dass |an|<ε bleibt für alle n>n0, so ist für diese n stets |anbn|=|an| |bn|<εβ, womit wegen der Bemerkung 3 nach Satz 20.3 bereits alles bewiesen ist. |
Hallo, ich bin gerade am Lernen und möchte mich heute mit "Das Rechnen mit konvergenten Folgen" befassen, nun bin ich an dem Satz 22.5 (Heuser) hängen geblieben.
Was ist überhaupt die Idee? Wie könnte man es Beweisen?
Bitte um Hilfe
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.gute-mathe-fragen.de/175692/das-rechnen-mit-konvergenten-folgen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:56 So 16.11.2014 | | Autor: | sissile |
> Strebt an → 0 und ist (bn) beschränkt, so auch anbn →
> 0.
>
> Ist nämlich |bn|<β für alle n und bestimmt man nach Wahl
> von ε<0 ein n0, so dass |an|<ε bleibt für alle n>n0, so
> ist für diese n stets |anbn|=|an| |bn|<εβ, womit wegen
> der Bemerkung 3 nach Satz 20.3 bereits alles bewiesen ist.
Es steht sicher: [mm] \epsilon>0
[/mm]
Was bedeutet, dass [mm] (b_n) [/mm] beschränkt ist?
[mm] \exists \beta>0 [/mm] : [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN: |b_n| [/mm] < [mm] \beta
[/mm]
Was bedeutet, dass [mm] a_n [/mm] gegen 0 konvergiert?
[mm] \forall \epsilon>0 \exists n_0: \forall [/mm] n [mm] \ge n_0 [/mm] : [mm] |a_n-0|=|a_n|<\epsilon
[/mm]
Was wollen wir zeigen?
[mm] \forall \epsilon>0 \exists [/mm] N [mm] \in \IN: \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N: [mm] |a_n b_n-0|=|a_n b_n| [/mm] < [mm] \epsilon
[/mm]
Wir wollen also solch ein N finden.
Nun wähle [mm] N=n_0, [/mm] dass mache ich, damit ich die Ungleichung [mm] |a_n| <\epsilon [/mm] verwenden darf. Denn diese gilt erst wen der Index von a größer ist als [mm] n_0. [/mm]
[mm] |a_n b_n| [/mm] = [mm] |a_n [/mm] | [mm] |b_n| [/mm] < [mm] \epsilon \beta
[/mm]
Ich kenne die Bemerkung jetzt nicht, da ich das Buch nicht zur Hand habe.(Arbeite lieber mit Forster)
Aber ich kann ja mein [mm] \epsilon>0 [/mm] beliebig wählen:
Sei [mm] \epsilon>0 [/mm] dann [mm] ist,\frac{\epsilon}{\beta}>0
[/mm]
[mm] \forall [/mm] n [mm] \ge n_0 [/mm] : [mm] |a_n-0|=|a_n|<\frac{\epsilon}{\beta}
[/mm]
Dann haben wir: [mm] |a_n b_n [/mm] | = [mm] |a_n| |b_n| [/mm] < [mm] \frac{\epsilon}{\beta} \beta= \epsilon
[/mm]
Wo sind noch Schwiergkeiten?
LG,
sissi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 So 16.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Strebt an → 0 und ist (bn) beschränkt, so auch anbn →
> > 0.
> >
> > Ist nämlich |bn|<β für alle n und bestimmt man nach Wahl
> > von ε<0 ein n0, so dass |an|<ε bleibt für alle n>n0, so
> > ist für diese n stets |anbn|=|an| |bn|<εβ, womit wegen
> > der Bemerkung 3 nach Satz 20.3 bereits alles bewiesen ist.
> Es steht sicher: [mm]\epsilon>0[/mm]
>
> Was bedeutet, dass [mm](b_n)[/mm] beschränkt ist?
> [mm]\exists \beta>0[/mm] : [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN: |b_n|[/mm] < [mm]\beta[/mm]
>
> Was bedeutet, dass [mm]a_n[/mm] gegen 0 konvergiert?
> [mm]\forall \epsilon>0 \exists n_0: \forall[/mm] n [mm]\ge n_0[/mm] :
> [mm]|a_n-0|=|a_n|<\epsilon[/mm]
>
> Was wollen wir zeigen?
> [mm]\forall \epsilon>0 \exists[/mm] N [mm]\in \IN: \forall[/mm] n [mm]\ge[/mm] N:
> [mm]|a_n b_n-0|=|a_n b_n|[/mm] < [mm]\epsilon[/mm]
> Wir wollen also solch ein N finden.
>
> Nun wähle [mm]N=n_0,[/mm] dass mache ich, damit ich die Ungleichung
> [mm]|a_n| <\epsilon[/mm] verwenden darf. Denn diese gilt erst wen
> der Index von a größer ist als [mm]n_0.[/mm]
> [mm]|a_n b_n|[/mm] = [mm]|a_n[/mm] | [mm]|b_n|[/mm] < [mm]\epsilon \beta[/mm]
>
> Ich kenne die Bemerkung jetzt nicht, da ich das Buch nicht
> zur Hand habe.(Arbeite lieber mit Forster)
> Aber ich kann ja mein [mm]\epsilon>0[/mm] beliebig wählen:
da muss man ein wenig aufpassen: Am Besten ist es, Du schreibst: Zu
[mm] $\epsilon [/mm] > 0$ existiert ein [mm] $N_{\epsilon}$ [/mm] so, dass für alle $n [mm] \ge N_\epsilon$ [/mm] folgt
[mm] $|a_n| [/mm] < [mm] \epsilon\,.$
[/mm]
Denn hier:
> Sei [mm]\epsilon>0[/mm] dann [mm]ist,\frac{\epsilon}{\beta}>0[/mm]
willst Du ja gar nicht mehr [mm] $N=N_{\epsilon}\,,$ [/mm] sondern
[mm] $N=N_{\epsilon/\beta}$
[/mm]
betrachten. [mm] ($N_\epsilon$ [/mm] hat die Rolle von [mm] $n_0=n_0(\epsilon)\,.$ [/mm] Du machst aber
an einer Stelle einen Übergang von [mm] $n_0(\epsilon)$ [/mm] zu [mm] $n_0(\epsilon/\beta)$!)
[/mm]
> [mm]\forall[/mm] n [mm]\ge n_0[/mm]
Dieses [mm] $n_0$ [/mm] ist nun ein [mm] $n_0(\epsilon/\beta)\,,$ [/mm] und ich denke, das ist für jemanden,
der/die das zum ersten Mal sieht, schwer nachzuvollziehen!
> : [mm]|a_n-0|=|a_n|<\frac{\epsilon}{\beta}[/mm]
> Dann haben wir: [mm]|a_n b_n[/mm] | = [mm]|a_n| |b_n|[/mm] <
> [mm]\frac{\epsilon}{\beta} \beta= \epsilon[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Wo sind noch Schwiergkeiten?
Ich würde es vielleicht auch erstmal so schreiben: Per Definitionem existiert
zu jedem $\epsilon' > 0$ ein $N_{\epsilon'}$ mit
$|a_n| < \epsilon'\,$ für alle $n \ge N_{\epsilon'}\,.$
Betrachten wir zu gegebenem $\epsilon > 0$ dann $\epsilon':=\epsilon/\beta}\,.$ Weil
$\epsilon'=\epsilon/\beta > 0$ ist, gibt es zu $\epsilon'=\epsilon/\beta$ ein $N_{\epsilon'}$ so, dass
$|a_n| < \epsilon'=\epsilon/\beta$ für alle $n \ge N_{\epsilon'}=N_{\epsilon/\beta}\,.$
Es folgt für alle $n \ge N_{\epsilon/\beta}$
$|a_n| < \epsilon\,.$
Man beachte: Das $N_{\epsilon/\beta}$ ist eigentlich als $N_{\epsilon}$ auffassbar,
da $\epsilon$ unabhängig von $\beta$ ist! (Oder man sagt einfach an einer
Stelle oben: Wir definieren $N:=N_{\epsilon'}=N_{\epsilon/\beta}\,.$ Dann ist $N=N_{\epsilon}$ und
für alle $n \ge N=N_{\epsilon}$ folgt
$|a_n| < \epsilon\,.$)
Gruß,
Marcel
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Hallo,
'Epsilontik' ist (außer falls gefordert) gar nicht notwendig.
die Folge [mm] (b_{n})_{n \in \mathbb{N}} [/mm] ist beschränkt, d.h : es existiert eine Konstante C so dass
[mm] |b_{n}| \le [/mm] C für alle n [mm] \in \mathbb{N} [/mm]
sei nun [mm] x_{n} [/mm] = [mm] a_{n}b_{n} [/mm]
also [mm] |x_{n}| [/mm] = [mm] |a_{n}b_{n}| =|a_{n}||b_{n}| \le [/mm] C [mm] |a_{n}|
[/mm]
da [mm] a_{n} \to [/mm] 0 , konvergiert auch [mm] |a_{n}| \to [/mm] 0
nun konvergiert sichtlich auch [mm] C|a_{n}| \to [/mm] 0 für n [mm] \to \infty.
[/mm]
Gruß Thomas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:29 So 16.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Thomas,
> Hallo,
>
> 'Epsilontik' ist (außer falls gefordert) gar nicht
> notwendig.
>
>
> die Folge [mm](b_{n})_{n \in \mathbb{N}}[/mm] ist beschränkt, d.h :
> es existiert eine Konstante C so dass
>
> [mm]|b_{n}| \le[/mm] C für alle n [mm]\in \mathbb{N}[/mm]
>
> sei nun [mm]x_{n}[/mm] = [mm]a_{n}b_{n}[/mm]
>
> also [mm]|x_{n}|[/mm] = [mm]|a_{n}b_{n}| =|a_{n}||b_{n}| \le[/mm] C [mm]|a_{n}|[/mm]
>
> da [mm]a_{n} \to[/mm] 0 , konvergiert auch [mm]|a_{n}| \to[/mm] 0
>
> nun konvergiert sichtlich auch [mm]C|a_{n}| \to[/mm] 0 für n [mm]\to \infty.[/mm]
da benutzt Du aber das Sandwich-Kriterium und (wenigstens in einer
schwachen Form) sowas wie, dass "Produkte konvergenter Folgen auch
gegen das Produkt der Grenzwerte streben".
Wenigstens sowas wie
[mm] $b_n=c*a_n$ [/mm] und [mm] $a_n \to [/mm] a$
[mm] $\Rightarrow$ $b_n \to c*a\,.$
[/mm]
Wenn man sich davon den Beweis in der Epsilontik ansieht, sehe ich nicht,
dass der sich *wesentlich* von obigem unterscheidet. Und wenn man
dafür dann auch noch das Sandwich-Kriterium (oder wenigstens überhaupt
sonstwas noch zusätzlich) beweisen muss...
Oder hast Du da eine kürzere Idee? Alternativen sind generell okay, aber
man sollte auch immer gucken, dass diese auch nur einfacher werden
können, wenn die Aussagen, die man für sie braucht, auch schon zur
Verfügung stehen.
P.S. Okay, das Sandwich-Kriterium kann man hier auch noch ein wenig
umgehen. Denn der Beweis zu [mm] $a_n \to [/mm] 0$ [mm] $\iff$ $|a_n| \to [/mm] 0$ ist doch auch relativ
schnell zu Fuß zu führen bzw. folgt quasi durch Hingucken. (Bei [mm] $a_n \to [/mm] a$
[mm] $\Rightarrow$ $|a_n| \to [/mm] |a|$ hat man schon etwas mehr zu tun, da braucht
man die umgekehrte Dreiecksungleichung. Und [mm] $|a_n| \to [/mm] |a|$ [mm] $\Rightarrow$ $a_n \to [/mm] a$ ist i.a.
falsch! [Bsp. [mm] $a_n=(-1)^n\,.$])
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:04 Mo 17.11.2014 | | Autor: | Thomas_Aut |
Hallo Marcel,
> Hallo Thomas,
>
> > Hallo,
> >
> > 'Epsilontik' ist (außer falls gefordert) gar nicht
> > notwendig.
> >
> >
> > die Folge [mm](b_{n})_{n \in \mathbb{N}}[/mm] ist beschränkt, d.h :
> > es existiert eine Konstante C so dass
> >
> > [mm]|b_{n}| \le[/mm] C für alle n [mm]\in \mathbb{N}[/mm]
> >
> > sei nun [mm]x_{n}[/mm] = [mm]a_{n}b_{n}[/mm]
> >
> > also [mm]|x_{n}|[/mm] = [mm]|a_{n}b_{n}| =|a_{n}||b_{n}| \le[/mm] C [mm]|a_{n}|[/mm]
> >
> > da [mm]a_{n} \to[/mm] 0 , konvergiert auch [mm]|a_{n}| \to[/mm] 0
> >
> > nun konvergiert sichtlich auch [mm]C|a_{n}| \to[/mm] 0 für n [mm]\to \infty.[/mm]
>
> da benutzt Du aber das Sandwich-Kriterium und (wenigstens
> in einer
> schwachen Form) sowas wie, dass "Produkte konvergenter
> Folgen auch
> gegen das Produkt der Grenzwerte streben".
Richtig , dass wird natürlich benötigt.
>
> Wenigstens sowas wie
>
> [mm]b_n=c*a_n[/mm] und [mm]a_n \to a[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]b_n \to c*a\,.[/mm]
>
> Wenn man sich davon den Beweis in der Epsilontik ansieht,
> sehe ich nicht,
> dass der sich *wesentlich* von obigem unterscheidet. Und
> wenn man
> dafür dann auch noch das Sandwich-Kriterium (oder
> wenigstens überhaupt
> sonstwas noch zusätzlich) beweisen muss...
>
> Oder hast Du da eine kürzere Idee? Alternativen sind
> generell okay, aber
> man sollte auch immer gucken, dass diese auch nur
> einfacher werden
> können, wenn die Aussagen, die man für sie braucht, auch
> schon zur
> Verfügung stehen.
Nein du hast ganz recht, wenn man den Beweis wirklich total runterbricht, dann ist er im Aufwand gleich - allerdings dachte ich, dass er intuitiv leichter nachvollziehbar ist - daher habe ich diesen Weg auch vorgeschlagen - es ist auch a-priori nicht ganz klar gewesen (oder ist noch immer nicht ganz klar) welche Sätze und Regeln für konvergente Folgen mb9168 zur Verfügung stehen.
>
> P.S. Okay, das Sandwich-Kriterium kann man hier auch noch
> ein wenig
> umgehen. Denn der Beweis zu [mm]a_n \to 0[/mm] [mm]\iff[/mm] [mm]|a_n| \to 0[/mm] ist
> doch auch relativ
> schnell zu Fuß zu führen bzw. folgt quasi durch
> Hingucken. (Bei [mm]a_n \to a[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]|a_n| \to |a|[/mm] hat man schon etwas mehr zu tun,
> da braucht
> man die umgekehrte Dreiecksungleichung. Und [mm]|a_n| \to |a|[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]a_n \to a[/mm] ist i.a.
> falsch! [Bsp. [mm]a_n=(-1)^n\,.[/mm]])
Absolut. Dadurch, dass [mm] a_{n} [/mm] gegen 0 geht ist es dennoch sichtlich dass auch [mm] $|a_n| \to [/mm] 0$ geht. ( Auch hier gilt natürlich : für jeden ist Offensichtlichkeit was ganz anderes )
Die Essenz : Wenn sich mb9168 die ganzen Beiträge hier durchliest führt ihn die Diskussion bzgl. Alternativweg eventuell zu mehr Klarheit.
>
> Gruß,
> Marcel
Lg Thomas
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