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| Aufgabe | Das Rechnen mit konvergenten Folgen
22.1 Vergleichssatz
Strebt an →a, bn→b und ist fast immer (d.h. durchweg ab einem gewissen Index) an ≤ bn, so ist auch a≤b.
Wäre nämlich a>b, so wäre ε:= (a-b)/2>0, fast alle an wären in Uε (a), fast alle bn in Uε(b) enthalten und Uε(a) würde rechts von Uε(b) liegen. Im Widerspruch zur Voraussetzung hätten wir also an>bn für fast alle Indizes.
Gilt fast immer α ≤ an≤β, so folgt aus dem Vergleichssatz sofort die Grenzwertabschätzung α ≤ a≤β.
Wie das Beispiel der gegen 1 konvergierenden Folgen (1-1/n) und (1+1/n) lehrt, kann aus an<bn für n=1,2,... nicht aus a<b, sondern eben nur auf a≤b geschlossen werden- so wenig dies auch nach dem Geschmack eines vage(aber innig) empfundenen "Kontinuitätsprinzips" sein mag.
22.2 Einschnürungssatz
Strebt an →a und bn→a und ist fast immer an≤cn≤bn, so strebt auch cn →a.
Wählen wir nämlich ein beliebiges ε>0, so liegen fast alle an und fast alle bn in Uε(a). Dann müssen aber auch fast alle cn in Uε(a) liegen, d.h. es muss cn →a streben.
Aus dem Einschnürungssatz folgt ohne weiteres der
22.3 Satz
Gilt mit der Nullfolge (αn) fast immer |an-a|≤an, so strebt an →a.
Beachtet man die Ungleichung ||an|-|a||≤|an-a|, so enthält man aus diesem Satz und der ersten Bemerkung zum Vergleichssatz sofort den wichtigen
22.4 Betragssatz
Aus an →a folgt |an| →|a|. und ist fast immer |an|≤γ, so gilt auch |a|≤γ.
Der nächste Satz besagt, dass man Nullfolge mit beschränkten Folgen multiplizieren "darf":
22.5 Satz
Strebt an → 0 und ist (bn) beschränkt, so auch anbn → 0.
Ist nämlich |bn|<β für alle n und bestimmt man nach Wahl von ε<0 ein n0, so dass |an|<ε bleibt für alle n>n0, so ist für diese n stets |anbn|=|an| |bn|<εβ, womit wegen der Bemerkung 3 nach Satz 20.3 bereits alles bewiesen ist. |
Ich habe diese Sätze leider nicht verstanden, könnt ihr mir diese eventuell an Hand von Beispielen erklären ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:14 Di 18.11.2014 | | Autor: | reverend |
Hallo bedaiahfa, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
So funktioniert dieses Forum im allgemeinen nicht. Versuch doch mal selbst, für wenigstens einen der Sätze ein Beispiel (oder ein Gegenbeispiel!) zu finden.
Als Erstes solltest Du aber nachschlagen, was "fast immer" heißt. Dann sind wahrscheinlich die meisten der Sätze recht schnell verständlich.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:39 Di 18.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Hallo bedaiahfa,
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> So funktioniert dieses Forum im allgemeinen nicht. Versuch
> doch mal selbst, für wenigstens einen der Sätze ein
> Beispiel (oder ein Gegenbeispiel!) zu finden.
>
> Als Erstes solltest Du aber nachschlagen, was "fast immer"
> heißt.
braucht er/sie nicht, da geschrieben wurde:
> fast immer (d.h. durchweg ab einem gewissen Index)
Aber es kann sein, dass das dennoch unklar ist. Dann soll er/sie einfach
nochmal nachfragen, denn das kann man präzisieren:
"Es gibt ein [mm] $N_0$ [/mm] so, dass für alle $n [mm] \ge N_0$ [/mm] ..."
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:00 Di 18.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Das Rechnen mit konvergenten Folgen
>
> 22.1 Vergleichssatz
> Strebt an →a, bn→b und ist fast immer (d.h. durchweg
> ab einem gewissen Index) an ≤ bn, so ist auch a≤b.
Beispiel: Wir betrachten
[mm] $a_n=10/n$
[/mm]
und [mm] $b_n=1-1/n\,.$
[/mm]
1. Es gilt offensichtlich [mm] $a_n \to [/mm] 0$ und [mm] $b_n \to 1\,.$ [/mm] Warum?
2. Es ist fast immer [mm] $a_n \le b_n$ [/mm] (d.h. bis auf endlich viele Ausnahmen). Warum?
3. Selbst, wenn wir nur [mm] $a_n \to [/mm] a$ und [mm] $b_n \to [/mm] b$ hätten sagen können und
die Feststellung 2. gemacht hätten, hätten wir schon $a [mm] \le [/mm] b$ gewußt.
4. In der Tat gilt hier $0=a [mm] \le 1=b\,.$
[/mm]
P.S. Die Aussage in 2. kann man sich, selbst, wenn man gar keine Idee
hat, wie man da formal rangehen kann, durch Betrachtung der Graphen
von
[mm] $(0,\infty) \ni [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] 10/x$
und
[mm] $(0,\infty) \ni [/mm] x [mm] \mapsto 1-1/x\,,$
[/mm]
bzw. besser gesagt von den Graphen der zu obigen auf [mm] $\IN$ [/mm] eingeschränkten(!)
Funktionen *ersichtlich* machen, also genaugenommen durch Betrachtung
der Graphen von
[mm] $\IN \ni [/mm] n [mm] \mapsto [/mm] 10/n$
und
[mm] $\IN \ni [/mm] n [mm] \mapsto 1-1/n\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Do 20.11.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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