Konvergente Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:22 Mo 17.12.2012 | | Autor: | Duck123 |
| Aufgabe | Seien [mm] a_n [/mm] , [mm] b_n (n\in \IN) [/mm] Folgen reeler Zahlen mit [mm] b_n [/mm] > 0 [mm] (\forall\ [/mm] n [mm] \in \IN),so [/mm] dass die Folge [mm] \left( \bruch{a_n}{b_n} \right) [/mm] konvergiert. Es gelte [mm] lim_{n \to \infty}\left( \bruch{a_n}{b_n} \right) \ne [/mm] 0
Zeigen Sie:
[mm] \sum_{n=1}^{\infty} a_n [/mm] ist konvergent [mm] \gdw \sum_{n=1}^{\infty} b_n [/mm] ist konvergent. |
Ich bin hier eigentlich gerade ziemlich verloren, entsprechend bin ich für jede Hilfe dankbar. Generell kann ich sagen das ich weiß das [mm] a_n [/mm] Nullfolge sein muss, folglich geht aus [mm] a_n/b_n [/mm] auch hervor das [mm] b_n [/mm] konvergent und NUllfogle sein muss, da sonst der Grenzwert dieser Folge nicht existiert oder 0 wäre.
Mehr fällt mir dazu allerdings nicht ein.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:25 Mo 17.12.2012 | | Autor: | Duck123 |
Ich habe gerade gesehen das in einem anderen Forum die selbe Aufgabe gestellt wurde (http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=176292)
Ich kann allerdings mit den Tipps dort nicht wirklich etwas anfangen, hat jemand noch andere Tipps?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:49 Mo 17.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Seien [mm]a_n[/mm] , [mm]b_n (n\in \IN)[/mm] Folgen reeler Zahlen mit [mm]b_n[/mm] > 0
> [mm](\forall\[/mm] n [mm]\in \IN),so[/mm] dass die Folge [mm]\left( \bruch{a_n}{b_n} \right)[/mm]
> konvergiert. Es gelte [mm]lim_{n \to \infty}\left( \bruch{a_n}{b_n} \right) \ne[/mm]
> 0
>
> Zeigen Sie:
>
> [mm]\sum_{n=1}^{\infty} a_n[/mm] ist konvergent [mm]\gdw \sum_{n=1}^{\infty} b_n[/mm]
> ist konvergent.
> Ich bin hier eigentlich gerade ziemlich verloren,
> entsprechend bin ich für jede Hilfe dankbar.
ob's notwendig ist, weiß ich nicht. Aber ich würde erstmal eine
Fallunterscheidung machen.
Setze [mm] $\gamma:=\lim (a_n/b_n)\,.$ [/mm] (Mit [mm] $\lim:=\lim_{n \to \infty}$ [/mm] - in
späteren Antworten werde ich das so benutzen!) Nach Voraussetzung
existiert [mm] $\gamma$ [/mm] und es ist [mm] $\gamma [/mm] > [mm] 0\,$ [/mm] oder [mm] $\gamma [/mm] < [mm] 0\,.$
[/mm]
1. Fall: Ist [mm] $\gamma [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] so setze [mm] $\varepsilon:=\gamma/2 [/mm] > [mm] 0\,.$
[/mm]
Beachte nun:
a) Es existiert dann ein [mm] $N_1$ [/mm] so, dass
[mm] $$a_n/b_n [/mm] > [mm] \gamma-\varepsilon=\gamma/2$$
[/mm]
für alle $n [mm] \ge N_1\,.$
[/mm]
b) Es existiert ein [mm] $N_2$ [/mm] so, dass
[mm] $$a_n/b_n [/mm] < [mm] \gamma+\varepsilon=\frac{3}{2}*\gamma$$
[/mm]
für alle $n [mm] \ge N_2\,.$
[/mm]
c) Zudem beachte: Wegen [mm] $\gamma [/mm] > 0$ existiert ein [mm] $N_3$ [/mm] so, dass
[mm] $a_n [/mm] > 0$ für alle $n [mm] \ge N_3\,.$
[/mm]
Aus a),b) und c) folgt: Es existiert ein [mm] $N_0$ [/mm] so, dass
[mm] $$(\*)\;\;\;\frac{1}{2}*\gamma [/mm] < [mm] a_n/b_n [/mm] < [mm] \frac{3}{2}*\gamma$$
[/mm]
für alle $n [mm] \ge N_0\,.$ [/mm] (Wie kann man ein solches [mm] $N_0$ [/mm] wählen?)
Warum hilft das? Nun:
Multipliziere [mm] $(\*)$ [/mm] mit [mm] $b_n$ [/mm] unter Beachtung von [mm] $b_n [/mm] > [mm] 0\,$ [/mm] für insbesondere alle $n [mm] \ge N_0\,.$ [/mm] Danach kannst Du dann
I.) Falls [mm] $\sum a_n$ [/mm] konvergiert, eine konvergente Majorante für [mm] $\sum b_n$ [/mm] angeben!
und
II.) Falls [mm] $\sum b_n$ [/mm] konvergiert, eine konvergente Majorante für [mm] $\sum a_n$ [/mm] angeben!
Damit ist der 1. Fall eigentlich schon abgeschlossen.
Und vielleicht läßt sich der
2. Fall: Ist [mm] $\gamma [/mm] < [mm] 0\,,$ [/mm] so ...
ja auf den ersten Fall zurückführen. (Das habe ich mir noch nicht weiter
angeguckt, aber ich denke, dass das kein Problem werden sollte. Vielleicht
täuscht mich da aber auch meine Intuition.) Immerhin werden, falls [mm] $\gamma [/mm] < 0$
ist, dann "alle bis auf endlich viele [mm] $a_n$" [/mm] sicher [mm] $<0\,$ [/mm] sein müssen (Warum?)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:07 Mo 17.12.2012 | | Autor: | Trollgut |
Hallo,
ich hätte rein aus Interesse zwei Fragen an dich:
>
> Setze [mm]\gamma:=\lim (a_n/b_n)\,.[/mm] (Mit [mm]\lim:=\lim_{n \to \infty}[/mm]
> - in
> späteren Antworten werde ich das so benutzen!) Nach
> Voraussetzung
> existiert [mm]\gamma[/mm] und es ist [mm]\gamma > 0\,[/mm] oder [mm]\gamma < 0\,.[/mm]
>
> 1. Fall: Ist [mm]\gamma > 0\,,[/mm] so setze [mm]\varepsilon:=\gamma/2 > 0\,.[/mm]
>
> Beachte nun:
> a) Es existiert dann ein [mm]N_1[/mm] so, dass
> [mm]a_n/b_n > \gamma-\varepsilon=\gamma/2[/mm]
> für alle [mm]n \ge N_1\,.[/mm]
>
> b) Es existiert ein [mm]N_2[/mm] so, dass
> [mm]a_n/b_n < \gamma+\varepsilon=\frac{3}{2}*\gamma[/mm]
> für alle
> [mm]n \ge N_2\,.[/mm]
Muss man hier nicht mit Beträgen arbeiten und dann noch einmal Fälle unterscheiden? Man weiß ja nicht ob nicht [mm] a_n [/mm] unter Umständen negativ ist.
Und wie sieht die Begründung für die Existenz von N1 bei a) aus?
Wäre dir für eine Antwort dankbar.
LG.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:16 Mo 17.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> ich hätte rein aus Interesse zwei Fragen an dich:
>
> >
> > Setze [mm]\gamma:=\lim (a_n/b_n)\,.[/mm] (Mit [mm]\lim:=\lim_{n \to \infty}[/mm]
> > - in
> > späteren Antworten werde ich das so benutzen!) Nach
> > Voraussetzung
> > existiert [mm]\gamma[/mm] und es ist [mm]\gamma > 0\,[/mm] oder [mm]\gamma < 0\,.[/mm]
>
> >
> > 1. Fall: Ist [mm]\gamma > 0\,,[/mm] so setze [mm]\varepsilon:=\gamma/2 > 0\,.[/mm]
>
> >
> > Beachte nun:
> > a) Es existiert dann ein [mm]N_1[/mm] so, dass
> > [mm]a_n/b_n > \gamma-\varepsilon=\gamma/2[/mm]
> > für alle [mm]n \ge N_1\,.[/mm]
>
> >
> > b) Es existiert ein [mm]N_2[/mm] so, dass
> > [mm]a_n/b_n < \gamma+\varepsilon=\frac{3}{2}*\gamma[/mm]
> >
> für alle
> > [mm]n \ge N_2\,.[/mm]
>
> Muss man hier nicht mit Beträgen arbeiten und dann noch
> einmal Fälle unterscheiden? Man weiß ja nicht ob nicht
> [mm]a_n[/mm] unter Umständen negativ ist.
wenn die [mm] $a_n/b_n \in (\gamma-\underbrace{\gamma/2}_{=\varepsilon},\; \gamma+\underbrace{\gamma/2}_{=\varepsilon}) \subseteq (0,\infty)$ [/mm]
fallen, wird das wegen der Positivität der [mm] $b_n$ [/mm] unmöglich!
> Und wie sieht die Begründung für die Existenz von N1 bei
> a) aus?
Setze mal [mm] $c_n:=a_n/b_n\,.$ [/mm] Dann ist [mm] $\lim c_n=\lim (a_n/b_n)=\gamma\,,$
[/mm]
und im ersten Fall ist [mm] $\gamma [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Dann gibt's ein [mm] $N\,$ [/mm] so, dass
[mm] $$|c_n-\gamma| [/mm] < [mm] \varepsilon=\gamma/2 \text{ für alle }n \ge N\,,$$
[/mm]
also
[mm] $$\underbrace{\gamma-\varepsilon}_{=\gamma/2 > 0} [/mm] < [mm] c_n [/mm] < [mm] \underbrace{\gamma+\varepsilon}_{=\frac{3}{2}*\gamma > 0} \text{ für alle }n \ge N\,.$$
[/mm]
Ehrlich gesagt: Es war eigentlich unnötig, [mm] $N_1$ [/mm] und [mm] $N_2$ [/mm] in a) und b)
zu unterscheiden. (Es ist aber dennoch nicht falsch!)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:09 Mo 17.12.2012 | | Autor: | Duck123 |
[mm] N_0 [/mm] wähle ich als [mm] Max\{N_1,N_2,N_3\}. [/mm] Für die Majorante wähle ich doch am besten [mm] b_n(a_n) [/mm] und die obere Grenze. Die multiplikation ändert ja an der Konvergenz der Reihe nichts(?) , da ja [mm] b_n* [/mm] 3/2 [mm] \gamma [/mm] nach Konstruktion konvergente Majorante für [mm] a_n [/mm] ist?
Für die Rückrichtung wäre es dann [mm] a_n*3/2 \gamma [/mm] als Majorante?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:29 Mo 17.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]N_0[/mm] wähle ich als [mm]Max\{N_1,N_2,N_3\}.[/mm]
ja, wobei, wie eben in der anderen Antwort meinerseits schon gesagt:
Eigentlich ist eh [mm] $N_1=N_2\,.$ [/mm] Aber falsch ist das ganze ja dennoch nicht -
vielleicht ein wenig unschön, aber dennoch korrekt. 
> Für die Majorante
> wähle ich doch am besten [mm]b_n(a_n)[/mm] und die obere Grenze.
Das verstehe ich nicht!
> Die multiplikation ändert ja an der Konvergenz der Reihe
> nichts(?) , da ja [mm]b_n*[/mm] 3/2 [mm]\gamma[/mm] nach Konstruktion
> konvergente Majorante für [mm]a_n[/mm] ist?
> Für die Rückrichtung wäre es dann [mm]a_n*3/2 \gamma[/mm] als
> Majorante?
Du meinst das richtig, aber Du musst auch schon wenigstens von "Reihe
über die [mm] $a_n$" [/mm] reden, wenn Du [mm] $\sum a_n$ [/mm] meinst - oder schreib's halt
richtig hin.
Also bleiben wir mal im Fall [mm] $\gamma [/mm] > 0$:
Sei [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n$ [/mm] konvergent. Es gilt für alle natürlichen $m [mm] \ge N_0$
[/mm]
[mm] $$\sum_{n=0}^m b_n=\sum_{n=0}^{N_0-1} b_n+\sum_{n=N_0}^m b_n \le \sum_{n=0}^{N_0-1} b_n+\sum_{n=N_0}^m \frac{2a_n}{\gamma}\le \sum_{n=0}^{N_0-1} b_n+\frac{2}{\gamma}*\sum_{n=N_0}^m a_n\le \sum_{n=0}^{N_0-1} b_n+\frac{2}{\gamma}*\sum_{n=N_0}^\infty a_n\,,$$
[/mm]
also konvergiert [mm] $\sum_{n=0}^\infty b_n$ [/mm] nach dem Majorantenkr..
Die andere Richtung geht dann analog und mit dem, wie Du es oben
geschrieben hast, jedenfalls denke ich, dass Du das richtig meinst - aber
wie gesagt: Nicht eine Folge ist Majorante, sondern die mit der Folge
gebildete Reihe...
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:38 Mo 17.12.2012 | | Autor: | Duck123 |
Ja, genau das meinte ich. Danke das hat unglaublich nachgeholfen, nu muss ich mir nur noch den Kopf über den 2. Fall zerbrechen bzw erst einmal fest stellen das der wirklich existiert. Denn ist es nicht so, wenn ich zwei Nullfolgen teile, dann gerade der Quotient > 0?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:59 Mo 17.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ja, genau das meinte ich. Danke das hat unglaublich
> nachgeholfen, nu muss ich mir nur noch den Kopf über den
> 2. Fall zerbrechen bzw erst einmal fest stellen das der
> wirklich existiert. Denn ist es nicht so, wenn ich zwei
> Nullfolgen teile, dann gerade der Quotient > 0?
nein - wieso sollte der Quotient zweier Nullfolgen $> 0$ sein? $1/n [mm] \to [/mm] 0$
und [mm] $(-1)^n/n \to 0\,,$ [/mm] aber [mm] $1/n/((-1)^n/n)=1/(-1)^n=(-1)^n$... [/mm]
Es ist aber doch so: Mit [mm] $c_n:=a_n/b_n$ [/mm] gilt hier [mm] $c_n \to \gamma [/mm] < [mm] 0\,.$
[/mm]
Dann gibt's sicher ein [mm] $N\,'$ [/mm] so, dass [mm] $c_n [/mm] < 0$ für alle $n [mm] \ge N\,'\,.$ [/mm] Nun
sind alle [mm] $b_n [/mm] > [mm] 0\,:$
[/mm]
Aus [mm] $c_n=a_n/b_n [/mm] < 0$ und insbesondere [mm] $b_n [/mm] > 0$ für alle $n [mm] \ge N\,'$
[/mm]
folgt dann [mm] $a_n [/mm] < 0$ für alle $n [mm] \ge N\,'\,.$
[/mm]
Das ist die Aussage, die ich schonmal formuliert habe: Alle bis auf endlich
viele [mm] $a_n$ [/mm] sind, im 2. Fall, wo [mm] $\gamma [/mm] < 0$ ist, sicher [mm] $<0\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:11 Di 18.12.2012 | | Autor: | Duck123 |
Okay, das ist einleuchtend. Sehe ich es dann richtig, das [mm] \sum_{n=1}^{\infty} a_n [/mm] auch für den Fall [mm] a_n [/mm] < 0 trotzdem die Majorante des 1. Falles hat? Da ich für die Majorante, wenn ich mich nicht irre, ja sowieso den [mm] |a_n| [/mm] betrachten muss? Damit würde die Hinrichtung ja analog funktionieren. Die Rückrichtung sollte dann doch auch funktionieren in dem ich für diesen Fall als Majorante einfach [mm] \sum_{n=1}^{\infty} |a_n| [/mm] statt [mm] \sum_{n=1}^{\infty} a_n [/mm] nehme?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:23 Di 18.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Duck,
> Okay, das ist einleuchtend. Sehe ich es dann richtig, das
> [mm]\sum_{n=1}^{\infty} a_n[/mm] auch für den Fall [mm]a_n[/mm] < 0 trotzdem
> die Majorante des 1. Falles hat? Da ich für die Majorante,
> wenn ich mich nicht irre, ja sowieso den [mm]|a_n|[/mm] betrachten
> muss? Damit würde die Hinrichtung ja analog funktionieren.
> Die Rückrichtung sollte dann doch auch funktionieren in
> dem ich für diesen Fall als Majorante einfach
> [mm]\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|[/mm] statt [mm]\sum_{n=1}^{\infty} a_n[/mm]
> nehme?
sei mir nicht böse, ich bin nun zu müde. Aber mal ein Tipp: Schreibe doch
einfach mal konkret hin, was Du machst und wie Du es machst. Dann kann
jeder einfach mal schnell drübergucken und Dir sagen, ob das so Okay ist,
was Du Dir denkst, oder es wird an den Stellen interveniert, wo nicht so
ganz klar erscheint, was Du meinst...
In etwa so, wie ich nun die eine Beweisrichtung hingeschrieben habe. Da
war ich ja auch nicht 'schwammig' mit Worten umgegangen, oder habe an
der Verwendung von Formeln/Symbolen gespart... ^^
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:34 Di 18.12.2012 | | Autor: | fred97 |
Sei L:= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{|a_n|}{b_n}
[/mm]
Nach Vor. ist L>0. Es gibt ein N [mm] \in \IN [/mm] mit:
[mm] \bruch{L}{2} \le \bruch{|a_n|}{b_n} \le \bruch{3L}{2} [/mm] für n>N.
Dann haben wir:
[mm] \bruch{L}{2}b_n \le| a_n| \le \bruch{3L}{2}b_n [/mm] für n>N.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:41 Di 18.12.2012 | | Autor: | Duck123 |
Auch dir vielen Dank für deine Antwort. Allerdings ist es mir nicht ganz klar warum ich sagen kann das [mm] |a_n|/b_n [/mm] einen Grenzwert hat, wenn wir in dem Fall sind in dem der Grenzwert von [mm] a_n/b_n [/mm] negativ ist? edit: Eigenen Fehler sofort gemerkt, deswegen anders formuliert: ist [mm] |a_n| [/mm] eine Umordnung von [mm] a_n? [/mm] Dann hätte es ja den selben Grenzwert.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:24 Di 18.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Auch dir vielen Dank für deine Antwort. Allerdings ist es
> mir nicht ganz klar warum ich sagen kann das [mm]|a_n|/b_n[/mm]
> einen Grenzwert hat, wenn wir in dem Fall sind in dem der
> Grenzwert von [mm]a_n/b_n[/mm] negativ ist?
?? Aus [mm] $\lim (a_n/b_n)=\gamma$ [/mm] folgt [mm] $\lim |a_n/b_n|=|\gamma|\,.$
[/mm]
Das begründet man mit der Stetigkeit des Betrages, oder es folgt auch
aus
[mm] $$|\;\;|a|-|b|\;\;| \le |a-b|\,.$$
[/mm]
Und bei Dir ist [mm] $|a_n/b_n|=|a_n|/b_n\,,$ [/mm] weil ...?
> edit: Eigenen Fehler
> sofort gemerkt, deswegen anders formuliert: ist [mm]|a_n|[/mm] eine
> Umordnung von [mm]a_n?[/mm] Dann hätte es ja den selben
> Grenzwert.
Von was redest Du nun? Springst Du wieder zu irgendwelchen Reihen?
Wenn ja: zu welchen?
Gruß,
Marcel
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