Konvergente Teilfolge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:19 Di 15.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
| Aufgabe 1 | [mm] a_{n} [/mm] = na - (na) (das zweite na sei abgerundet) a [mm] \in \IR
[/mm]
1. Speziell sei nun a = [mm] \bruch{22}{7}. [/mm] Bestimmen Sie eine konvergente Teilfolge von [mm] (a_{n}) [/mm] explizit. |
| Aufgabe 2 | | 2. Würde es auch mit a = [mm] \wurzel{2} [/mm] funktioniern? |
Ich habe leider noch nicht viele Ansätze für die Aufgabe.
Ich weiß nur, dass [mm] a_{n} [/mm] beschränkt sein muss, da es sonst keine konvergente Teilfolge gäbe, kann mir jemand sagen woran ich genau sehe, dass meine gegebene Folge beschränkt ist?
Ansonsten bin ich dankbar für jeden weiteren Tipp :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:26 Di 15.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> [mm]a_{n}[/mm] = na - (na) (das zweite na sei abgerundet) a [mm]\in \IR[/mm]
>
> 1. Speziell sei nun a = [mm]\bruch{22}{7}.[/mm] Bestimmen Sie eine
> konvergente Teilfolge von [mm](a_{n})[/mm] explizit.
> 2. Würde es auch mit a = [mm]\wurzel{2}[/mm] funktioniern?
> Ich habe leider noch nicht viele Ansätze für die
> Aufgabe.
>
> Ich weiß nur, dass [mm]a_{n}[/mm] beschränkt sein muss, da es
> sonst keine konvergente Teilfolge gäbe,
Das stimmt doch nicht. Dir Folge [mm] (b_n)= [/mm] (1,2,1,3,1,4,1,5,1,....) ist nicht beschränkt, enthält aber die konvergente Teilfolge [mm] (b_{2n-1})
[/mm]
Zu obiger Folge [mm] (a_n) [/mm] sollst Du eine konvergente Teilfolge konkret angeben. Also lass Dir was einfallen und bastle schön.
FRED
> kann mir jemand
> sagen woran ich genau sehe, dass meine gegebene Folge
> beschränkt ist?
>
> Ansonsten bin ich dankbar für jeden weiteren Tipp :)
>
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:38 Di 15.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
Ich habe mir das nochmal durch den Kopf gehen lassen, wenn n eine 7, oder ein Vielfaches von 7 ist, dann erhalte ich ja immer 0, wäre das eine konvergente Teilfolge? Wie könnte ich das formal aufschreiben?
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Hiho,
> Ich habe mir das nochmal durch den Kopf gehen lassen, wenn
> n eine 7, oder ein Vielfaches von 7 ist, dann erhalte ich
> ja immer 0, wäre das eine konvergente Teilfolge?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wie könnte ich das formal aufschreiben?
Genau so: Für 7|n ist [mm] $\bruch{22}{7}*n \in \IZ$ [/mm] und damit [mm] $\left\lfloor \bruch{22}{7}*n \right\rfloor [/mm] = [mm] \bruch{22}{7}*n$
[/mm]
Dann ist..... naja den Rest bekommst du schon hin.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:17 Di 15.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
Vielen Dank und würde es mit a = [mm] \wurzel{2} [/mm] funktionieren?
Ich finde da keine konvergente Teilfolge ...
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Hiho,
> Vielen Dank und würde es mit a = [mm]\wurzel{2}[/mm] funktionieren?
Die Frage sollst du beantworten!
> Ich finde da keine konvergente Teilfolge ...
Ja warum denn nicht?
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:37 Di 15.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
Ja, weil ich [mm] \wurzel{2} [/mm] nicht als rationale Zahl aufschreiben kann und somit wieder ein bestimmtes n(+Vielfache) finden kann, welche eine konvergente Teilfolge bilden ...
& ja ich weiß, dass ich das beantworten soll, aber wenn ich das für so leicht erachten würde, würde ich mich nicht in solch einem Forum an euch wenden...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 Mi 16.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
> Ja, weil ich [mm]\wurzel{2}[/mm] nicht als rationale Zahl
> aufschreiben kann und somit wieder ein bestimmtes
> n(+Vielfache) finden kann, welche eine konvergente
> Teilfolge bilden ...
Ist das der richtige Grund, oder gibt es eine andere triviale Begründung?
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Hallo,
> > Ja, weil ich [mm]\wurzel{2}[/mm] nicht als rationale Zahl
> > aufschreiben kann und somit wieder ein bestimmtes
> > n(+Vielfache) finden kann, welche eine konvergente
> > Teilfolge bilden ...
>
> Ist das der richtige Grund, oder gibt es eine andere
> triviale Begründung?
Das ist der richtige Grund, und manche finden ihn trivial.
Die Falle, die die Aufgabe vielleicht stellen soll, ist etwas subtil. [mm] \tfrac{22}{7} [/mm] ist ja eine in der Praxis zumindestens für Überschlagsrechnungen oft gebrauchte (und recht gute) Näherung für [mm] \pi. [/mm] Wahrscheinlich sollte man sich davon also verleiten lassen, dass es auch für [mm] \wurzel{2} [/mm] etwas Ähnliches gäbe. Das ist aber nicht so. Für den Näherungswert [mm] \tfrac{10}{7} [/mm] natürlich schon... 
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:42 Mi 16.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
Alles klar, vielen Dank! :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:57 Fr 18.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
Hab nochmal eine Frag bzgl. der Hauptfrage.
Also für die Folge ([mm]\left\lfloor \bruch{22}{7}*n \right\rfloor = \bruch{22}{7}*n[/mm]) habe ich eine konvergente Teilfolge gefunden nun soll ich ja begründen, ob es für [mm] \wurzel{2} [/mm] auch funktioniert.
Meine Antwort:
... weil ich [mm] \wurzel{2} [/mm] nicht als rationale Zahl aufschreiben kann und somit wieder ein bestimmtes n(+Vielfache) finden kann, welche eine konvergente Teilfolge bilden, kann man für [mm] \wurzel{2} [/mm] nicht explizit eine konvergente Teilfolge bestimmen.
An sich muss es ja für [mm] \wurzel{2} [/mm] auch minds. eine konvergente Teilfolge geben, da diese reele Zahl ja auch beschränkt ist, oder?
Wie sollte ich also am besten argumentieren, denn meine Antwort reicht denke ich nicht aus, habt ihr da noch Tipps? Danke im Voraus!
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Hiho,
> ... weil ich [mm]\wurzel{2}[/mm] nicht als rationale Zahl
> aufschreiben kann und somit wieder ein bestimmtes
> n(+Vielfache) finden kann, welche eine konvergente
> Teilfolge bilden, kann man für [mm]\wurzel{2}[/mm] nicht explizit
> eine konvergente Teilfolge bestimmen.
Nicht auf deinem Weg! Das ist richtig.
> An sich muss es ja für [mm]\wurzel{2}[/mm] auch minds. eine
> konvergente Teilfolge geben, da diese reele Zahl ja auch
> beschränkt ist, oder?
Eine einzelne reelle Zahl ist immer beschränkt! Vorallem ist sie keine Folge....
Wäre die Folge [mm] a_n [/mm] beschränkt, hätte sie eine konvergente Teilfolge, das ist korrekt. Ist die Folge [mm] a_n [/mm] hier beschränkt?
Hat sie eine konvergente Teilfolge?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 Fr 18.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
Sorry, meinte natürlich für die Folge ([mm]\left\lfloor \wurzel{2}*n \right\rfloor = \wurzel{2}*n[/mm])
Naja, ich selber könnte keine explizite konvergente Teilfolge bestimmen und an sich siehts nicht aus, als wenn [mm] \wurzel{2} [/mm] beschränkt ist, ich kann zumindest keine obere und untere Schranke finden. Wie gesagt, mir fehlt leider nur die Argumentationsgrundlage, also wie ich das am besten begründe. Danke
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Hiho,
> Sorry, meinte natürlich für die Folge ([mm]\left\lfloor \wurzel{2}*n \right\rfloor = \wurzel{2}*n[/mm])
Das ist auch keine Folge, das ist eine Gleichung!
> Naja, ich selber könnte keine explizite konvergente
> Teilfolge bestimmen und an sich siehts nicht aus, als wenn
> [mm]\wurzel{2}[/mm] beschränkt ist,
[mm] \sqrt{2} [/mm] ist eine Zahl! Die ist immer beschränkt.
> ich kann zumindest keine obere und untere Schranke finden.
[mm] \sqrt{2} [/mm] ist nach oben und unten durch sich selbst beschränkt.
Gewöhn dir bitte an, dich richtig auszudrücken, dann würdest du merken, dass das, was du schreibst, keinen Sinn macht und nicht richtig sein kann.
Zurück zur Anfangsfolge [mm] $a_n [/mm] = a*n - [mm] \left\lfloor a*n \right\rfloor$.
[/mm]
Ist [mm] $|a_n|$ [/mm] nun beschränkt?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:18 Fr 18.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
> Zurück zur Anfangsfolge [mm]a_n = a*n - \left\lfloor a*n \right\rfloor[/mm].
>
> Ist [mm]|a_n|[/mm] nun beschränkt?
In dem Fall ist a = [mm] \wurzel{2}
[/mm]
[mm] \wurzel{2} [/mm] ist als Zahl durch sich selbst beschränkt, wie du so schön sagtest, heißt es, dass [mm] \wurzel{2} [/mm] in der Folge nun auch beschränkt ist? Also ist [mm] |a_n| [/mm] bechränkt Wüsste aber nicht wodurch ...
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Hiho,
> > Zurück zur Anfangsfolge [mm]a_n = a*n - \left\lfloor a*n \right\rfloor[/mm].
> In dem Fall ist a = [mm]\wurzel{2}[/mm]
Ja.
> [mm]\wurzel{2}[/mm] ist als Zahl durch sich selbst beschränkt, wie
> du so schön sagtest, heißt es, dass [mm]\wurzel{2}[/mm] in der
> Folge nun auch beschränkt ist? Also ist [mm]|a_n|[/mm] bechränkt
> Wüsste aber nicht wodurch ...
Na dann schau dir die konkrete Folge doch für ein paar Glieder mal an.
Jetzt ist konkret:
[mm]a_n = \wurzel{2}*n - \left\lfloor \wurzel{2}*n \right\rfloor[/mm]
Wie sehen nun die ersten Glieder gerundet denn aus?
Also was ist [mm] $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ [/mm] gerundet? Was fällt dir auf?
Welche Schranke kommt dir da in den Sinn. Kannst du das begründen?
Nicht nur reden, machen!
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:17 Sa 19.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
[mm] a_1 \approx [/mm] 0,414
[mm] a_2 \approx [/mm] 0,828
[mm] a_3 \approx [/mm] 0,247
[mm] a_4 \approx [/mm] 0,657
[mm] a_5 \approx [/mm] 0,071
[mm] a_6 \approx [/mm] 0,485
[mm] a_7 \approx [/mm] 0,899
[mm] a_8 \approx [/mm] 0,314
Als Schranken würden mir 0 und 1 in den Sinn kommen, wenn ich nun die ersten Folgenglieder betrachte, wäre mir aber nicht sicher.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:13 Sa 19.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Ana,
> [mm]a_1 \approx[/mm] 0,414
> [mm]a_2 \approx[/mm] 0,828
> [mm]a_3 \approx[/mm] 0,247
> [mm]a_4 \approx[/mm] 0,657
> [mm]a_5 \approx[/mm] 0,071
> [mm]a_6 \approx[/mm] 0,485
> [mm]a_7 \approx[/mm] 0,899
> [mm]a_8 \approx[/mm] 0,314
>
> Als Schranken würden mir 0 und 1 in den Sinn kommen, wenn
> ich nun die ersten Folgenglieder betrachte, wäre mir aber
> nicht sicher.
die Schranken sind richtig, und das ganze ist auch relativ einfach einzusehen:
Für jedes $x [mm] \in \IR$ [/mm] erfüllt [mm] $\lfloor [/mm] x [mm] \rfloor:=\max\{z \in \IZ:\;z \le x\}$ [/mm] die Ungleichung
[mm] $$\lfloor [/mm] x [mm] \rfloor \le [/mm] x < [mm] \lfloor [/mm] x [mm] \rfloor +1\,.$$
[/mm]
(Beweis? Per Definitionem von [mm] $\lfloor x\rfloor$ [/mm] gilt sicherlich [mm] $\lfloor [/mm] x [mm] \rfloor \le x\,,$ [/mm] und wäre $x [mm] \ge \lfloor [/mm] x [mm] \rfloor +1\,,$ [/mm] so wäre aber [mm] $\max\{z \in \IZ:\;z \le x\} \ge \underbrace{\lfloor x \rfloor +1}_{\in \IZ}\,,$ [/mm] was zum Widerspruch $1 [mm] \le [/mm] 0$ führte.)
Damit kannst Du nun arbeiten!
P.S.
Vorsicht: Das folgende gilt nur, wenn man die Korrektur $x [mm] \ge [/mm] 0$ beachtet!
Was die Funktion [mm] $f(x):=x-\lfloor [/mm] x [mm] \rfloor$ [/mm] (für alle $x [mm] \red{\ge 0}$) [/mm] macht, kannst Du Dir schnell einfach klarmachen, wenn Du die Dezimaldarstellung betrachtest: "Sie schneidet die Vorkommazahl ab und schreibt eine Null dahin." Beispiele:
aus [mm] $10,5\,$ [/mm] wird dann $f(10,5)=10,5 [mm] -\lfloor 10,5\rfloor=0,5$
[/mm]
aus [mm] $\pi=3,141...$ [/mm] wird dann [mm] $f(\pi)=\pi -\lfloor \pi\rfloor=\pi-3=0,141...$
[/mm]
aus [mm] $3,\overline{3}\,$ [/mm] wird dann [mm] $f(3,\overline{3})=3,\overline{3} -\lfloor 3,\overline{3}\rfloor=0,\overline{3}$
[/mm]
aus [mm] $1000354345,54345\,$ [/mm] wird dann $f(1000354345,54345)=1000354345,54345 [mm] -\lfloor 1000354345,54345\rfloor=1000354345,54345-1000354345=0,54345$
[/mm]
P.P.S.
Was obiges [mm] $f(x)=x-\lfloor [/mm] x [mm] \rfloor$ [/mm] im Falle $x < [mm] 0\,$ [/mm] macht, kann man sich auch überlegen - das ersparen wir uns hier aber, weil es für die Aufgabe hier nicht wirklich interessant ist!
Weiterer Zusatz: In Dezimaldarstellung soll sowas wie [mm] $1,\overline{9}$ [/mm] nicht erlaubt sein, sondern als [mm] $2\,$ [/mm] verstanden werden!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:07 Sa 19.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
> (Beweis?
> Per Definitionem von [mm]\lfloor x\rfloor[/mm] gilt sicherlich
> [mm]\lfloor x \rfloor \le x\,,[/mm] und wäre [mm]x > \lfloor x \rfloor +1\,,[/mm]
> so wäre aber [mm]\max\{z \in \IZ:\;z \le x\} \ge \underbrace{\lfloor x \rfloor +1}_{\in \IZ}\,,[/mm]
> was zum Widerspruch [mm]1 \le 0[/mm] führte.)
Ich verstehe in deinem Beweis nicht, wieso [mm]\lfloor x \rfloor \le x\,,[/mm] und wäre [mm]x > \lfloor x \rfloor +1\,,[/mm] gilt...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:40 So 20.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Ana-Lena,
> > (Beweis?
> > Per Definitionem von [mm]\lfloor x\rfloor[/mm] gilt sicherlich
> > [mm]\lfloor x \rfloor \le x\,,[/mm] und wäre [mm]x > \lfloor x \rfloor +1\,,[/mm]
> > so wäre aber [mm]\max\{z \in \IZ:\;z \le x\} \ge \underbrace{\lfloor x \rfloor +1}_{\in \IZ}\,,[/mm]
> > was zum Widerspruch [mm]1 \le 0[/mm] führte.)
>
> Ich verstehe in deinem Beweis nicht, wieso [mm]\lfloor x \rfloor \le x\,,[/mm]
per Definitionem ist [mm] $\lfloor [/mm] x [mm] \rfloor$ [/mm] doch gerade die größte ganze Zahl, die kleinergleich [mm] $x\,$ [/mm] ist (nichts anderes bedeutet [mm] $\max\{z \in \IZ: z \le x\}$). [/mm] Dann erfüllt natürlich diese größte ganze Zahl [mm] $\le x\,$ [/mm] weiterhin, dass sie [mm] $\le [/mm] x$ ist.
In Dezimaldarstellung von [mm] $x\,$ [/mm] ist's wieder trivial: [mm] $\lfloor [/mm] x [mm] \rfloor$ [/mm] macht nichts anderes, als die Zahl vor dem Komma anzugeben - jedenfalls, wenn die Zahl $x [mm] \ge [/mm] 0$ ist (das habe ich der Vollständigkeit wegen in der anderen Antwort noch ergänzt bzw. korrigiert).
(Die obige Ungleichung gilt auf für $x < [mm] 0\,,$ [/mm] aber [mm] $\lfloor [/mm] x [mm] \rfloor$ [/mm] beschreibt für $x < [mm] 0\,$ [/mm] in Dezimaldarstellung dann nicht direkt die Vorkommazahl, sondern diese Vorkommazahl weniger Eins.)
> und wäre [mm]x > \lfloor x \rfloor +1\,,[/mm] gilt...
Da habe ich einen Verschreiber korrigiert: Da sollte angenommen werden, dass $x [mm] \ge \lfloor [/mm] x [mm] \rfloor+1$...
[/mm]
Aber genauer:
Naja, wir haben [mm] $\lfloor [/mm] x [mm] \rfloor \le [/mm] x < [mm] \lfloor [/mm] x [mm] \rfloor [/mm] +1$ nachzuweisen.
Das heißt, wir haben die folgenden zwei Ungleichungen zu begründen:
1.) Es gilt [mm] $\lfloor [/mm] x [mm] \rfloor \le [/mm] x$
und
2.) es gilt $x < [mm] \lfloor [/mm] x [mm] \rfloor+1\,.$
[/mm]
Per Definitionem von [mm] $\lfloor [/mm] x [mm] \rfloor\,,$ [/mm] das ist die größte ganze Zahl [mm] $\le x\,,$ [/mm] wie gesagt, ist klar, dass [mm] $\lfloor [/mm] x [mm] \rfloor \le [/mm] x$ gilt. 1.) ist also sofort klar.
Bei 2.) habe ich mal angenommen, die Behauptung wäre falsch: Dann würde $x [mm] \ge \lfloor [/mm] x [mm] \rfloor+1$ [/mm] gelten. Per Definitionem von [mm] $\lfloor [/mm] x [mm] \rfloor$ [/mm] ist [mm] $\lfloor [/mm] x [mm] \rfloor \in \IZ\,,$ [/mm] damit ist auch [mm] $\lfloor [/mm] x [mm] \rfloor+1=:z_0 \in \IZ\,.$ [/mm] Soweit klar, oder?
Wenn nun [mm] $\lfloor [/mm] x [mm] \rfloor+1=z_0 \in \IZ$ [/mm] ist und [mm] $\lfloor [/mm] x [mm] \rfloor+1=z_0 \le x\,,$ [/mm] dann ist also [mm] $\lfloor [/mm] x [mm] \rfloor+1=z_0 \in \IZ$ [/mm] mit [mm] $\lfloor [/mm] x [mm] \rfloor+1=z_0 \le x\,.$ [/mm] Demnach müßte aber die größte ganze Zahl [mm] $\le x\,$ [/mm] sicher [mm] $\ge z_0$ [/mm] sein:
Es müßte also [mm] $\lfloor x\rfloor =\max\{z \in \IZ \text{ mit }z \le x\}$ [/mm] erfüllen
[mm] $$\lfloor x\rfloor =\max\{z \in \IZ \text{ mit }z \le x\} \ge z_0\,.$$
[/mm]
Nun war aber [mm] $z_0=\lfloor x\rfloor+1\,.$ [/mm] Das führt auf den besagten Widerspruch.
P.S.:
Das ganze Zeug hier ist gar nicht schwer. Das wirst Du merken, wenn Du ein wenig mehr ein Gespühr dafür entwickelt hast.
Ich gebe Dir folgenden Tipp:
Nimm' Dir mal ein paar Zahlenbeispiele:
a) [mm] $x=\sqrt{2}\,,$
[/mm]
b) [mm] $x=\pi\,,$
[/mm]
c) [mm] $x=\sqrt[3]{1000}\,,$
[/mm]
und auch, wenn's für Deine Aufgabe nicht relevant ist, nehmen wir auch mal ein paar negative Zahlen:
d) [mm] $x=-\sqrt{2}\,.$
[/mm]
e) [mm] $x=-\pi\,.$
[/mm]
Du kannst die Zahlen in Dezimalschreibweise wenigstens andeuten: [mm] $\sqrt{2}=1,41...$
[/mm]
Überprüfe mal, was [mm] $\lfloor [/mm] x [mm] \rfloor$ [/mm] "aus [mm] '$x\,$ [/mm] in Dezimaldarstellung' macht". Ich hab's eigentlich schon geschrieben: Man sollte eigentlich halt unterscheiden, ob $x [mm] \ge [/mm] 0$ oder $x < [mm] 0\,.$
[/mm]
Und dann ist meine Aussage oben auch für $x [mm] \ge [/mm] 0$ schon vollkommen trivial, an Beispielen veranschaulischt steht da:
$1,3133424$ erfüllt $1 [mm] \le1,3133424 [/mm] < [mm] 2\,,$
[/mm]
$-0,7453$ erfüllt $-1 [mm] \le [/mm] -0,7453 < 0$
$4756387$ erfüllt $4756387 [mm] \le [/mm] 4756387 < 4756388$
Und ich führe Dir auch mal den Beweis für ein beispielhaftes [mm] $x\,$ [/mm] vor, denn dann wird vielleicht alles verständlicher:
Sei mal [mm] $x=2,75\,.$ [/mm] Wir wollen [mm] $\lfloor [/mm] 2,75 [mm] \rfloor \le [/mm] 2,75 < [mm] \lfloor [/mm] 2,75 [mm] \rfloor+1$ [/mm] nachweisen.
Um den Beweis oben besser zu verstehen stellen wir uns hier blöd und haben vergessen, dass oder warum $2,75 < [mm] 3\,$ [/mm] gilt. Wir wissen aber:
[mm] $\lfloor [/mm] 2,75 [mm] \rfloor$ [/mm] ist die größte ganze Zahl [mm] $\le 2,75\,,$ [/mm] und wir sind schlau genug, um zu wissen, dass daher [mm] $\lfloor [/mm] 2,75 [mm] \rfloor=2$ [/mm] ist. Die Ungleichung [mm] $\lfloor [/mm] 2,75 [mm] \rfloor=2 \le [/mm] 2,75$ erkennen wir noch (wir sind nur ein bisschen blöd heute, nicht total betrunken oder so) - und wir sind sogar noch schlau genug, um [mm] $2+1=3\,$ [/mm] auszurechnen.
Wie gesagt: Wir wollen nun irgendwie sehen, warum nun auch $2,75 < 3=2+1$ gilt, wenn wir nur wissen, dass [mm] $2=\lfloor [/mm] 2,75 [mm] \rfloor\,.$ [/mm] Dazu nehmen wir an, es wäre $2,75 [mm] \ge 3\,.$ [/mm] Dann wäre $2,75 [mm] \ge 2+1=\lfloor [/mm] 2,75 [mm] \rfloor+1\,.$ [/mm] Wir sehen also, dass $3 [mm] \in \IZ$ [/mm] ist und es ist nach Annahme $3 [mm] \le 2,75\,.$ [/mm] Also ist [mm] $3\,$ [/mm] eine ganze Zahl [mm] $\le 2,75\,.$ [/mm] Dann muss aber [mm] $\lfloor [/mm] 2,75 [mm] \rfloor \ge 3\,$ [/mm] sein - wegen [mm] $3=2+1=\lfloor [/mm] 2,75 [mm] \rfloor+1$ [/mm] führt das aber zu $2 [mm] \ge 3=2+1\,$ [/mm] und damit zur Käse-Ungleichung [mm] $1\le 0\,\;-$ [/mm] wir müssen also die Annahme [mm] $\lfloor [/mm] 2,75 [mm] \rfloor+1=3 \le [/mm] 2,75$ verwerfen. Und nun sind wir wieder schlau: Wir wissen wieder $2 [mm] \le [/mm] 2,75 < [mm] 3\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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