Konvergenverhalten v. Reihen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:27 Mi 29.12.2004 | | Autor: | Ursus |
Hi Leute"
Ich tüfftle schon stundenlang an diesen beiden Beispielen herum, aber ich komme einfach nicht mehr weiter.
Man untersuche das Konvergenzverhalten folgender Reihen:
a) [mm] \summe_{i=0}^{ \infty} [/mm] ( [mm] 2^{k} [/mm] + k² ) / ( [mm] 3^{k} [/mm] - 2 )
b) [mm] \summe_{i=0}^{ \infty} \wurzel[3]{k} [/mm] / ( k* [mm] \wurzel{k} [/mm] - [mm] \wurzel{k} [/mm] )
Bei den beiden Aufgaben versuchte ich zuerst eine minorante divergente Reihe und dann eine majorante konvergente Reihe zu finden und diese dann auf die geometrische bzw harmonische Reihe zurückzuführen.
Ist bis hier mein Lösungsweg richtig?
Mein Problem: Beim Suchen der Reihen kam ich nie auf diese beiden Typen, sondern nur auf majorante divergente oder minorante konvergente und die beiden bringen jar nichts.
Ich wäre um einen kleinen Tipp sehr dankbar!
Besten Dank im Voraus!
Bis bald, Ursus
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Hallo, Ursus
ich nehme an, in beiden Fällen soll der Laufindex k sein.
Du brauchst nicht beides zu versuchen wenn Du schon eine Vermutung
hast.
Lass in beiden Fällen doch im Nenner etwas weg um eine Majorante
zu erhalten.
(bei a dann noch aufspalten )
Sind die divergent oder konvergent?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:08 Mi 29.12.2004 | | Autor: | Ursus |
Besten Dank erstmals für deine Antwort!
Zu a) Ich kann im Nenner nur [mm] 3^{k} [/mm] weglassen, weil wenn ich -2 weglassen würde, dann würde doch der Nenner größer werden und somit der gesamte Bruch kleiner werden. Also kann ich, meiner Meinung nach nur [mm] 3^{k} [/mm] wegglassen. Stimmt das bis hierher?
Dann kommt mir raus:
[mm] \summe_{k=1}^{ \infty} [/mm] ( [mm] 2^{k} [/mm] + k² ) / -2
und die Reihe wäre für mich divergent, aber zum Nachweis der Divergenz brauch ich doch eine Minorante. Wo ist bei mir der Denkfehler?
Vielen Dank! Mfg ursus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:14 Mi 29.12.2004 | | Autor: | Ursus |
Tut mir leid, dass ich 3mal das Gleiche geschrieben habe, aber bei mir war wieder einmal "Server ausgelastet" und jetzt habe ich gedacht die Einträge wären noch nicht angekommen! Sorry
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:10 Mi 29.12.2004 | | Autor: | Ursus |
Besten Dank erstmals für deine Antwort!
Zu a) Ich kann im Nenner nur [mm] 3^{k} [/mm] weglassen, weil wenn ich -2 weglassen würde, dann würde doch der Nenner größer werden und somit der gesamte Bruch kleiner werden. Also kann ich, meiner Meinung nach nur [mm] 3^{k} [/mm] wegglassen. Stimmt das bis hierher?
Dann kommt mir raus:
[mm] \summe_{k=1}^{ \infty} [/mm] ( [mm] 2^{k} [/mm] + k² ) / -2
Und die Reihe wäre für mich divergent, aber zum Nachweis der Divergenz benötige ich doch eine Minorante. Wo liegt hier mein Denkfehler?
Besten Dank! mfg URSUS
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"Kürze" in a doch mal durch [mm] 3^k, [/mm] dann siehst Du doch,
daß dieser Nenner dann für Konvergenzbetrachtungen
keine Rolle mehr spielt, der neue Summand kann
[mm] $f(k)*\left( (2/3)^k + k^2/3^k \right)$ [/mm] geschrieben werden,
mit $ [mm] \left| f(k) \right| [/mm] < 3 $
Du darfst dann in [mm] $\sum \left(\frac{2}{3}\right)^k$ [/mm] und [mm] $\sum \frac{k^2}{3^k}$
[/mm]
aufspalten
Im übrigem lassen sich für Reihen mit dem Glied [mm] $k^n*q^k$
[/mm]
explizite Summenformeln finden wenn man [mm] $\sum q^k [/mm] = ...$
beiderseits n mal differenziert. Damit kannst Du
dann dann den Grenzwert von [mm] $\sum \frac{k^2}{3^k}$ [/mm] bestimmen
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