Konvergenz+Grenzwert von Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:00 Di 22.04.2014 | | Autor: | Emma23 |
| Aufgabe | | Es sei c>0 gegeben. Für einen beliebigen Startwert [mm] x_{0}>0 [/mm] wird durch [mm] x_{n+1}:=\bruch{1}{2}(x_{n}+\bruch{c}{x_{n}}) [/mm] eine rekursive Folge definiert. Zeigen Sie, dass die Folge konvergiert und dass für den Grenzwert [mm] x:=\limes_{n\rightarrow\infty}x_{n} [/mm] die Gleichung [mm] x^{2}=c [/mm] gilt. Nutzen Sie ohne Beweise, dass [mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in \IR [/mm] mit a,b>0 gilt: [mm] a\le b\Rightarrow a\le \wurzel{ab} \le \bruch{a+b}{2}\le [/mm] b. |
Hallo zusammen. Ich hoffe, dass mir hier jemand bei der Aufgabe helfen kann. Ich weiß gar nicht, wie ich an sowas rangehen soll und wäre für Tipps sehr dankbar! Da ich neu hier bin, seid mir bitte nicht böse, wenn ich irgendwelche Formeln mal nicht richtig eingebe, aber ich geb mir Mühe :)
Grüße Emma
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:21 Di 22.04.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
Zeige, dass die Folge [mm] (x_n) [/mm] monoton und beschränkt (vst. Induktion) ist.
Benutze den Hauptsatz über monotone Folgen, der den Grenzwert x garantiert. Benutze schließlich, dass [mm] (x_n) [/mm] und [mm] (x_{n+1}) [/mm] denselben Grenzwert haben, um x zu berechnen.
Gruß Sax.
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