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Konvergenz+Integrale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:34 Mi 25.05.2011
Autor: mathefreak89

Aufgabe
Untersuchen sie auf Konvergenz und Berechnen sie gegebenenfalls:

[mm] \integral_{0}^{1/e}\bruch{1}{x*ln(x)^2} \, [/mm] dx



Hallöchen:)

Hab das ganze erstmal umgestellt zu:

[mm] \integral_{0}^{1/e}ln(x)^{-2}*\bruch{1}{x}\, [/mm] dx

und dann partielle Integration angewandt wobei ich ich v´als 1/x wähle und das andere als u:

Dann erhalte ich

[mm] ln(x)^{-2}*ln(x)-\integral_{0}^{1/e}-2*ln(x)^{-1}*ln(x)*1/x\, [/mm] dx

was mich zu

[mm] \bruch{ln(x)}{ln(x)^2}+2\integral_{0}^{1/e}\bruch{ln(x)}{ln(x)}*1/x\, [/mm] dx

und somit zu der Stammfunktion

[mm] F(x)=\bruch{1}{ln(x)}+2ln(x) [/mm] führt.

An dieser Stelle weiß ich dann nicht wie ich weiter machen soll, da beim einsetzen der Grenzen das Problem auftritt das ich ln(0) bekomme.

Was kann ich tun??:)

mfg mathefreak

        
Bezug
Konvergenz+Integrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:48 Mi 25.05.2011
Autor: schachuzipus

Hallo mf,

> Untersuchen sie auf Konvergenz und Berechnen sie
> gegebenenfalls:
>
> [mm]\integral_{0}^{1/e}\bruch{1}{x*ln(x)^2} \,[/mm] dx
>
>
> Hallöchen:)
>
> Hab das ganze erstmal umgestellt zu:
>
> [mm]\integral_{0}^{1/e}ln(x)^{-2}*\bruch{1}{x}\,[/mm] dx
>
> und dann partielle Integration angewandt wobei ich ich
> v´als 1/x wähle und das andere als u:
>
> Dann erhalte ich
>
> [mm]ln(x)^{-2}*ln(x)-\integral_{0}^{1/e}-2*ln(x)^{-1}*ln(x)*1/x\,[/mm]
> dx
>
> was mich zu
>
> [mm]\bruch{ln(x)}{ln(x)^2}+2\integral_{0}^{1/e}\bruch{ln(x)}{ln(x)}*1/x\,[/mm]
> dx
>
> und somit zu der Stammfunktion
>
> [mm]F(x)=\bruch{1}{ln(x)}+2ln(x)[/mm] führt.

Probe durch Ableiten:

[mm]F'(x)=-\frac{1}{x\ln^2(x)}+\frac{2}{x}[/mm] - passt also nicht.

Das Integral bekommst du leicht mit der Substitution [mm]u=u(x):=\ln(x)[/mm] in den Griff ...

Für die Betrachtung der unteren Grenze, setze [mm]t>0[/mm] fest ein und lasse am Ende [mm]t\to 0[/mm] gehen ...


>
> An dieser Stelle weiß ich dann nicht wie ich weiter machen
> soll, da beim einsetzen der Grenzen das Problem auftritt
> das ich ln(0) bekomme.

Das wäre [mm]-\infty[/mm]

>
> Was kann ich tun??:)

Erstmal die richtige Stfk. ausrechnen ;-)

> mfg mathefreak

LG

schachuzipus




Bezug
                
Bezug
Konvergenz+Integrale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:01 Mi 25.05.2011
Autor: mathefreak89

Also ich wäre dann jetz bei folgendem angekommen

[mm] \integral_{0}^{1/e}\bruch{x}{x*u^2} \, [/mm] du

bei der Substitution. x gekürzt und ich erhalte

[mm] \integral_{0}^{1/e}u^{-2} \, [/mm] du

und somit die Stammfunktion nach rücksubstitution:

[mm] F(x)=-\bruch{1}{ln(x)} [/mm]

mit den Grenzen:

[mm] -\bruch{1}{ln(1/e)}+ \limes_{t \to\(0)}\bruch{1}{ln(t)} [/mm]

War das so von dir gemeint??
Ist die Stammfunktion richtig?
Wie mach ich an der Stelle weiter^^?
Und wieso hat es mit der Partiellen integration nicht geklappt? Wo lag da der Fehler??Würd mich noch interessieren

Bezug
                        
Bezug
Konvergenz+Integrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:22 Mi 25.05.2011
Autor: Gonozal_IX

Hallo Mathefreak,

> [mm]\integral_{0}^{1/e}u^{-2} \,[/mm] du

Das ist so nicht richtig.
Wenn du bei einem Integral mit Grenzen substituierst, musst du natürlich die Grenzen mitsubstituieren.

> und somit die Stammfunktion nach Rücksubstitution:
>  
> [mm]F(x)=-\bruch{1}{ln(x)}[/mm]

Wenn du nur die Stammfunktion berechnen willst, ist das richtig....

>  
> mit den Grenzen:
>  
> [mm]-\bruch{1}{ln(1/e)}+ \limes_{t \to 0}\bruch{1}{ln(t)}[/mm]

Ja, das käme raus, wenn du alles richtig aufgeschrieben hättest.
Darum solltest du auch VOR dem Substituieren die Integralgrenze anpassen, also anstatt:

$ [mm] \integral_{0}^{1/e}\bruch{1}{x\cdot{}ln(x)^2} \, [/mm] $ dx

[mm] $\lim_{t \to 0} \integral_{t}^{1/e}\bruch{1}{x\cdot{}ln(x)^2} \, [/mm]  dx$

Und jetzt das Ganze für das (bestimmte) Integral [mm] $\integral_{t}^{1/e}\bruch{1}{x\cdot{}ln(x)^2} \, [/mm]  dx $ berechnen.

Zusammengefasst: Dein Ergebnis ist richtig, aber nur, weil du zwei Fehler gemacht hast, die sich gegenseitig aufgehoben haben.

Oder: Du bestimmst erst die Stammfunktion über ein unbestimmtes Integral (ohne Grenzen) und setzt diese dann in dein bestimmtes Integral ein.
Aber so ein bisschen von beidem ist falsch.

MFG,
Gono.

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Konvergenz+Integrale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:33 Mi 25.05.2011
Autor: mathefreak89

$ [mm] \lim_{t \to 0} \integral_{t}^{1/e}\bruch{1}{x\cdot{}ln(x)^2} \, [/mm] dx $

Also hab ich dann ja

[mm] \lim_{t \to 0} [-\bruch{1}{ln(1/e)}+\bruch{1}{ln(t)}] [/mm]

aber wie verhält sich den ln gegen 0??

mfg mathefreak

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Konvergenz+Integrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:42 Mi 25.05.2011
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> [mm]\lim_{t \to 0} \integral_{t}^{1/e}\bruch{1}{x\cdot{}ln(x)^2} \, dx[/mm]
>
> Also hab ich dann ja
>
> [mm]\lim_{t \to 0} [-\bruch{1}{ln(1/e)}+\bruch{1}{ln(t)}][/mm] [ok]
>
> aber wie verhält sich den ln gegen 0??

Na, du kennst doch den Graphen der Logarithmusfunktion, oder nicht?

Es ist [mm]\ln(t)\to-\infty[/mm] für [mm]t\to 0[/mm]

Also [mm]\frac{1}{\ln(t)}\to ...[/mm] für [mm]t\to 0[/mm]

>
> mfg mathefreak

Gruß

schachuzipus


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Konvergenz+Integrale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:45 Mi 25.05.2011
Autor: mathefreak89

$ [mm] \ln(t)\to-\infty [/mm] $ für $ [mm] t\to [/mm] 0 $

Also $ [mm] \frac{1}{\ln(t)}\to \infty [/mm] $ für $ [mm] t\to [/mm] 0 $

so??

Hatte den graphen anders im Kopf


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Konvergenz+Integrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:47 Mi 25.05.2011
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> [mm]\ln(t)\to-\infty[/mm] für [mm]t\to 0[/mm]
>
> Also [mm]\frac{1}{\ln(t)}\to \infty[/mm] [notok] für [mm]t\to 0[/mm]


Was ist denn [mm]\frac{1}{-1000000}[/mm] ungefähr?

> so??
>
> Hatte den graphen anders im Kopf
>

Hmm, Gruß

schachuzipus

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Konvergenz+Integrale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:53 Mi 25.05.2011
Autor: mathefreak89

0???^^

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Konvergenz+Integrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:06 Mi 25.05.2011
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> 0???^^

Ja sicher!

Also ergibt sich als Wert für das Integral ...


Gruß

schachuzipus


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Konvergenz+Integrale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:14 Mi 25.05.2011
Autor: mathefreak89

1?

WAr ja ne schwere geburt xD

Bezug
                                                                                        
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Konvergenz+Integrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:17 Mi 25.05.2011
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> 1? [ok]
>
> WAr ja ne schwere geburt xD

Ja, aber hier sind ja genügend Hebammen und Hebammeriche ;-)

Gruß

schachuzipus


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Bezug
Konvergenz+Integrale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:27 Mi 25.05.2011
Autor: mathefreak89

Aufgabe
[mm] \integral_{1}^{2} \bruch{1}{x*ln(x)}\, [/mm] dx

Ich bins nochmal:

Da die obige Aufgabe ähnlich ist und ich sie glaube ich richtig gelöst habe stell ich die mal kurz hier mit rein.

Hab genauso substituiert wie vorher also u=ln(x)

und erhalte dadurch erstmal ohne die Grenzen zu beachten für die Stammfunktion

F(x)=ln(ln(x))

mit den Grenzen hätte ich dann ja

ln(ln(2))-ln(ln(1))

Dann habe ich erstmal ln(1)=0 berechnet und dann wie folgt aufgeschrieben.

[mm] ln(ln(2))-\limes_{t \to 0}ln(ln(t)) [/mm]

was dann ja wie vorher gegen [mm] -\infty [/mm] geht was mich zu [mm] \infty [/mm] für den Wert des Integrals führt.

Darf ich das so machen erst ln(1) ausrechnen und dann mit t ersetzen?

mfg mathefreak

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Bezug
Konvergenz+Integrale: Korrektur
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:47 Mi 25.05.2011
Autor: Loddar

Hallo mathefreak!


> Hab genauso substituiert wie vorher also u=ln(x)

[ok]


> und erhalte dadurch erstmal ohne die Grenzen zu beachten
> für die Stammfunktion
>  
> F(x)=ln(ln(x))

[ok]


> mit den Grenzen hätte ich dann ja
> ln(ln(2))-ln(ln(1))

[ok]


> Dann habe ich erstmal ln(1)=0 berechnet und dann wie folgt
> aufgeschrieben.
>  
> [mm]ln(ln(2))-\limes_{t \to 0}ln(ln(t))[/mm]
>  
> was dann ja wie vorher gegen [mm]-\infty[/mm] geht was mich zu
> [mm]\infty[/mm] für den Wert des Integrals führt.

[ok]


> Darf ich das so machen erst ln(1) ausrechnen und dann mit t
> ersetzen?

Diesee Frage verstehe ich nicht ganz. Durch das Einsetzen erfährst Du ja erst, dass es sich um ein uneigentliches Integral ahndelt und Du eine entsprechende Grenzwertbetrachtung durchführen musst.


Gruß
Loddar


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