Konvergenz-Maximumsnorm Beweis < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:55 Mi 25.04.2012 | | Autor: | Gnocchi |
| Aufgabe | | Sei [mm] x_k [/mm] := [mm] (x_k,_1 [/mm] ,...., [mm] x_k,_n) [/mm] /in [mm] /IR^{n} [/mm] eine Folge. Zeigen Sie: [mm] x_k [/mm] konvergiert gegen [mm] x:=(x_1 [/mm] ,...., [mm] x_n) [/mm] bezüglich der Max-Norm || [mm] ||_\infty [/mm] genau dann, wenn für alle [mm] j\le [/mm] n gilt: [mm] x_k,_j [/mm] konvergiert gegen [mm] x_j [/mm] |
Also wir müssen ja nun zeigen:
[mm] x_k [/mm] konvergiert gegen x: [mm] =(x_1 [/mm] ,...., [mm] x_n) [/mm] bezüglich der Max-Norm || [mm] ||_\infty \gdw x_k,_j [/mm] konvergiert gegen [mm] x_j
[/mm]
Für die Hinrichtung hat ich mir überlegt, dass aufgrund der Max-Norn die [mm] (x_1,...x_n) [/mm] ja gleich dem Maximum der einzelnen X-K Einträge sein also (max [mm] x_k,_1 [/mm] ,...., max [mm] x_k,_n).
[/mm]
Zusätzlich hab ich mit der Definition der Konvergenz gearbeitet. Und hatte:
[mm] ||(x_k,_1 [/mm] ,..., [mm] x_k,_n)-(x_1 ,...,x_n)|| [/mm] = 0 und das ist kleiner als Epsilon. Nur weiß ich nicht ob das was bringt?
Gibt es dort eventuell andere hilfreiche Ansätze?
Für die Rückrichtung hab ich lediglich aufgeschrieben, dass die einzelnen [mm] x_k,_j [/mm] gegen [mm] x_j [/mm] konvergieren. Wie ich dort nun die Maximumsnorm reinbekomme, weiß ich nicht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:57 Do 26.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Gnocchi,
> Also wir müssen ja nun zeigen:
> [mm]x_k[/mm] konvergiert gegen x: [mm]=(x_1[/mm] ,...., [mm]x_n)[/mm] bezüglich der
> Max-Norm || [mm]||_\infty \gdw x_k,_j[/mm] konvergiert gegen [mm]x_j[/mm]
für alle j=1,...,n.
>
> Für die Hinrichtung hat ich mir überlegt, dass aufgrund
> der Max-Norn die [mm](x_1,...x_n)[/mm] ja gleich dem Maximum der
> einzelnen X-K Einträge sein also (max [mm]x_k,_1[/mm] ,...., max
> [mm]x_k,_n).[/mm]
Nein.
> Zusätzlich hab ich mit der Definition der Konvergenz gearbeitet.
Gute Idee.
> [mm]||(x_k,_1[/mm] ,..., [mm]x_k,_n)-(x_1 ,...,x_n)||[/mm] = 0
Nein.
> Gibt es dort eventuell andere hilfreiche Ansätze?
Sei [mm] $j\in\{1,\ldots,n\}$. [/mm] Wir wollen zeigen: [mm] $(x_{k,j})_{k\in\IN}$ [/mm] konvergiert gegen [mm] $x_j$.
[/mm]
Sei also [mm] $\varepsilon>0$. [/mm] Zu zeigen ist die Existenz eines [mm] $N\in\IN$ [/mm] mit [mm] $|x_{k,j}-x_j|<\varepsilon$ [/mm] für alle [mm] $k\ge [/mm] N$.
Was sagt dir die Konvergenz von [mm] $x_k$ [/mm] gegen $x$ für das gegebene [mm] $\varepsilon$ [/mm] nach Definition der Konvergenz?
> Für die Rückrichtung hab ich lediglich aufgeschrieben,
> dass die einzelnen [mm]x_k,_j[/mm] gegen [mm]x_j[/mm] konvergieren. Wie ich
> dort nun die Maximumsnorm reinbekomme, weiß ich nicht.
Schreibe dir analog zur Hinrichtung auf, was zu zeigen ist. Dabei wird wieder so ein [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] auftauchen.
Was liefert dir die Konvergenz von [mm] $x_{k,j}$ [/mm] gegen [mm] $x_j$ [/mm] für dieses [mm] $\varepsilon$ [/mm] nach Definition der Konvergenz?
Viele Grüße
Tobias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:21 Do 26.04.2012 | | Autor: | fred97 |
Tipp:
für [mm] a=(a_1,...,a_n) \in \IR^n [/mm] gilt:
[mm] |a_j| \le ||a||_{\infty} \le |a_1|+...+|a_n| [/mm] für j=1,...,n.
FRED
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