Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:19 Mo 21.11.2005 | | Autor: | Sinus |
Hallo,
ich möchte nur wissen ob ich folgende Aufgabe richtig gelöst habe:
Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0 und N [mm] \in \IN [/mm] mit N > [mm] \bruch{57}{\varepsilon} [/mm]
Es ist [mm] |a_{n} [/mm] - 3| = | [mm] \bruch{3n^{4}-2n^{2}+55}{n^{4}}=...=| \bruch{2n^{2}+55}{n^{4}} \le \bruch{2n^{2}+55}{n^{3}} \le \bruch{57}{n} \le \bruch{57}{N} \le [/mm] 57: 57: [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \varepsilon
[/mm]
Kann mir jemand sagen, ob das so geht?
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:02 Mo 21.11.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Sinus
> ich möchte nur wissen ob ich folgende Aufgabe richtig
> gelöst habe:
>
> Sei [mm]\varepsilon[/mm] > 0 und N [mm]\in \IN[/mm] mit N >
> [mm]\bruch{57}{\varepsilon}[/mm]
>
> Es ist [mm]|a_{n}[/mm] - 3| = |
> [mm]\bruch{3n^{4}-2n^{2}+55}{n^{4}}=...=| \bruch{2n^{2}+55}{n^{4}} \le \bruch{2n^{2}+55}{n^{3}} \le
\bruch{57}{n} \le \bruch{57}{N} \le[/mm]
> 57: 57: [mm]\varepsilon[/mm] = [mm]\varepsilon[/mm]
Du sagst nicht, was [mm] a_{n} [/mm] ist, aus deiner Gleichung schließe ich, dass
[mm] a_{n}=\bruch{2n^{2}-55}{n^{4}} [/mm] sein muss dann ist aber [mm] |a_{n}- [/mm] 3|>2 sicher für n>10. die an bilden eine Nullfolge, wenn man 3 davon abzieht kommt etwa 3 raus für grosse n. nach deindm 1. =....= ist die [mm] 3*n^{4}/n^{4}=3 [/mm] verschwunden.
Vielleicht hast du dich nur verschrieben, Die letzten Abschätzungen sind richtig, aber warum hat man gerade [mm] N=57/\epsilon?
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 Mo 21.11.2005 | | Autor: | Sinus |
Hallo Leduart,
danke für deine Antwort. Du hast Recht, ich habe einen Fehler gemacht:
Ich soll die den Limes folgender Folge bestimmen:
( [mm] \bruch{3n^{4}+2n^{2}+55}{n^{4}})_{n \ge1}
[/mm]
Durch Rumprobieren habe ich gedacht, diese Folge würde gegen 3 konvergieren, aber anscheindend habe ich mich vertan, oder?
Der erste Summand [mm] \bruch{3n^{4}}{n^{4}} [/mm] kovergiert gegen 3.
Der zweite Summand [mm] \bruch{2n^{2}}{n^{4}} [/mm] gegen 0 und der dritte ebenfalls, dann konvergiert doch die ganze Summe gegen 3, oder nicht?
Mein N habe ich demnach falsch gewählt, oder???
Ich hab wohl 'n Brett vor'm Kopf :(
Vielleicht kannst du mich wecken :( Hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:13 Di 22.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen Sinus!
Für die genannte Folge ist der Grenzwert $a \ = \ 3$ richtig! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Die Folgenvorschrift ging aus Deinem alten Posting nicht so eindeutig hervor.
Allerdings würde ich hier etwas anders abschätzen:
[mm] $\left| \ a_n - a \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ \bruch{3n^4+2n^2+55}{n^4} - 3 \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ \bruch{2n^2+55}{n^4} \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ \bruch{2}{n^2} + \bruch{55}{n^4} \ \right| [/mm] \ [mm] \red{<} [/mm] \ [mm] \left| \ \bruch{2}{n^2} + \bruch{55}{n^{\red{2}}} \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ \bruch{57}{n^2} \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \bruch{57}{n^2} [/mm] \ < \ [mm] \varepsilon$
[/mm]
(ich hab oben [mm] n^{4} [/mm] durch [mm] n^{2} [/mm] ersetzt. Wenn man Nenner verkleinert, vergr. den Bruch leduart)
Was erhältst Du also für $N_$ ?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:35 Di 22.11.2005 | | Autor: | Sinus |
Hallo Loddar,
danke für deine Hilfe. Ist das N also N [mm] \ge \bruch{n^{4}}{57} \varepsilon?
[/mm]
Wenn ja, dann habe ich die Konvergenz vom Prinzip her verstanden, wenn nicht, weiß ich auch nicht mehr weiter :(
Was ich auch bei dir nicht verstanden habe, ist das rot Markierte. Du vergrößerst einfach den Nenner. Darf man das? Ich dachte, man muss immer irgendwelche Ungleichungsregeln (wie Dreiecksungleichung oder Bernoulische Ungleichung etc) anwenden? Oder darf ich einfach etwas (in meinem Fall) am Bruch ändern, so dass ich rechts kleiner links habe???
Danke nochmal,
Sinus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:37 Mi 23.11.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo sinus
N darf nie von nabhängen. Du suchst doch ein N sodass für alle n>N gilt.....
also [mm] N^{2}\ge 57/\varepsilon.
[/mm]
Gruss leduart
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