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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:47 Fr 17.09.2021 | | Autor: | olmas |
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Wie beweise ich, dass für 0<q<1 die Folge [mm] n*q^n [/mm] gegen 0 konvergiert?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:56 Fr 17.09.2021 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Wie beweise ich, dass für 0<q<1 die Folge [mm]n*q^n[/mm] gegen 0
> konvergiert?
Betrachte [mm] $\frac{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] = (1 + [mm] \frac{1}{n})q$.
[/mm]
Dann ist [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] = q < 1$.
Das heißt, daß du die gegebene Folge durch eine geometrische Folge, die den Grenzwert 0 hat, abschätzen kannst.
Die zugehörige Epsilontik kriegst du vielleicht selbst hin.
Gruß Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:39 Mo 20.09.2021 | | Autor: | olmas |
Herzlichen Dank
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Hatte im Eifer p und q vertauscht. Jetzt verbessert:
Setze p=1/q > 1 Dann ist nach L'Hôpital mit ln(p)>0:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} n*q^n [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n}{p^n}=(L'H., [/mm] Zähler und Nenner gehen beide nach [mm] \infty) \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{p^n*ln(p)}=\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{q^n}{ln(p)}=0
[/mm]
(Dass [mm] p^n [/mm] nach [mm] \infty [/mm] geht und damit [mm] q^n [/mm] nach 0, kannst du leicht mit der Bernoulli-Ungleichung mit [mm] p=1+\epsilon [/mm] (mit [mm] \epsilon [/mm] > 0) beweisen.)
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Die Folge [mm] $a_n [/mm] = [mm] nq^n$ [/mm] lässt sich rekursiv darstellen als [mm] $a_{n+1} [/mm] = [mm] qa_n [/mm] + [mm] q^{n+1}$
[/mm]
Ist [mm] $a_n$ [/mm] konvergent, folgt daraus sofort:
$a : = [mm] \lim_{n\to \infty} a_{n+1} [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty} (qa_n [/mm] + [mm] q^{n+1}) [/mm] = qa$
d.h. $a = qa [mm] \gdw [/mm] a=0$
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:33 Mo 20.09.2021 | | Autor: | olmas |
Herzlichen Dank, habs kapiert
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