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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:35 Fr 24.11.2006 | | Autor: | Leni-H |
| Aufgabe | Beweisen Sie, dass die rekursiv definierte Folge
[mm] a_{1} [/mm] = 1 und [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \wurzel{1+a_{n}}
[/mm]
kovergiert und berechnen sie den Grenzwert. |
Hallo,
noch so ne Aufgabe: Muss ich da erst eine explizite Formel finden oder geht das auch so?
Das geht ja auch wieder nach dem Motto
Für [mm] \varepsilon [/mm] > 0 gibt es ein N [mm] \in \IN, [/mm] sodass für alle n > N gilt: [mm] abs(a_{n} [/mm] - a) < [mm] \varepsilon [/mm] .
Oder?
Gruß Michi und Leni
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> Beweisen Sie, dass die rekursiv definierte Folge
>
> [mm]a_{1}[/mm] = 1 und [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]\wurzel{1+a_{n}}[/mm]
>
> Muss ich da erst eine explizite Formel
> finden oder geht das auch so?
> Das geht ja auch wieder nach dem Motto
> Für [mm]\varepsilon[/mm] > 0 gibt es ein N [mm]\in \IN,[/mm] sodass für alle
> n > N gilt: [mm]abs(a_{n}[/mm] - a) < [mm]\varepsilon[/mm] .
> Oder?
Hallo,
ich bin mir sicher, daß es Dich freuen wird zu hören, daß Du hier kein [mm] \varepsilon [/mm] brauchst...
Zeige zuerst (Induktion) [mm] 1\le a_n [/mm] <3.
Dann: die Folge ist monoton wachsend.
Monoton wachsend und beschränkt ==> ???
Angenommen Du würdest den Grenzwert kennen.
Nennen wir ihn G.
[mm] a_n [/mm] -------->G
[mm] \wurzel{1+a_{n}}--------> [/mm] ???
Nun ist ja [mm] a_n=\wurzel{1+a_{n}} [/mm]
===> ???
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:36 Fr 24.11.2006 | | Autor: | Leni-H |
Hallo Angela!
Vielen Dank für deine Antwort.
Also ich habe jetzt mal gezeigt, dass die Folge beschränkt ist (durch Induktion). Also gilt [mm] 1\lea_{n}\le3
[/mm]
Nun bin ich dabei zu zeigen, dass die Folge monoton wachsend ist. Hier häng ich aber irgendwie noch. Ich muss ja zeigen, dass [mm] a_{m+1}\gea_{m} [/mm] ist für alle n [mm] \in\IN. [/mm] Also wollt ich zeigen, dass [mm] a_{m+2}\gea_{m+1} [/mm] ist.
Dann muss gelten [mm] (1+(1+a_{n})^0,5)^0,5 [/mm] - [mm] (1+a_{n})^0,5 \ge [/mm] 0
Hier hab ich dann so weit wie möglich umgeformt und erhalte
[mm] (1+a_{n})^0,5 [/mm] - [mm] a_{n} \ge [/mm] 0.
Aber nun komm ich nicht weiter. Wie kann ich zeigen, dass diese Ungleichung stimmt?
Wenn ich Monotonie gezeigt hätte, könnte ich ja sagen, dass die Folge konvergiert, denn aus Beschränktheit und Monotonie folgt Konvergenz.
Aber wie komm ich weiter?
Danke schonmal!
LG Leni & Michi
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Hallo,
zunächst etwas "Technisches":
guck' Dir am besten vor dem Abschicken die Vorschau Deines Posts an. Manches erscheint ganz anders als geplant...
Zur Monotonie:
Du schreibst richtig, daß [mm] a_{m+1}>a_m [/mm] zu zeigen ist.
Der Induktionsschluß: zu zeigen [mm] a_{m+2}>a_{m+1}
[/mm]
Es ist [mm] a_{m+2}-a_{m+1}
[/mm]
[mm] =\wurzel{a_{m+1}+1}-\wurzel{a_{m}+1}
[/mm]
[mm] =\bruch{(\wurzel{a_{m+1}+1}-\wurzel{a_{m}+1})(\wurzel{a_{m+1}+1}+\wurzel{a_{m}+1})}{\wurzel{a_{m+1}+1}+\wurzel{a_{m}+1}}
[/mm]
[mm] =\bruch{(a_{m+1}+1)-(a_{m}+1)}{\wurzel{a_{m+1}+1}+\wurzel{a_{m}+1}}
[/mm]
Der Nenner ist größer als Null, und auf den Zähler kannst Du die Induktionsvoraussetzung anwenden.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 Sa 25.11.2006 | | Autor: | Leni-H |
Hallo Angela!
Achso, muss ich die Monotonie auch mit Induktion beweisen? Also alles mit Induktion: Beschränktheit und Monotonie? Und dann folgern: Beschränktheit + Monotonie -> Konvergenz?
Lieber Gruß Leni
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Du musst in diesem Fall Monotonie und Beschränktheit in der Tat mithilfe der vollst. Induktion nachweisen, da die Folge rekursiv definiert ist und Du im Allgemeinen keine konkrete Aussage für ein bel. n treffen kannst.
Die Monotonie nachzuweisen ist dabei allerdings auch relativ leicht:
IV: a(n+1)>a(n)
IB:a(n+2)>a(n+1)
Bew.
[mm] a(n+2)^2 [/mm] = a(n) + 1 > [mm] a(n)^2 [/mm] (Wurzelziehen, bzw. noch Einschränkung machen)
=> a(n+1)> a(n) und damit haben wir die Aussage auf unsere IV zurückgeführt
(wobei der Kram mitm Erweitern etc. ebenfalls in Ordnung scheint).
Beschränktheit geht - wie gezeigt wurde - ebenso leicht.
Der Grenzwert kann mithilfe des - pauschal gesagt - Tricks von oben ermittelt werden.
Denn du weisst ja dass lim(a(n+1)) = lim (a(n)) ....
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Sa 25.11.2006 | | Autor: | MichiNes |
Hallo!
Danke für deine Antwort. Wir haben jetzt mal herausgefunden, dass der Grenzwert der Folge bei 0,5 + 0,5 * [mm] \wurzel{5} [/mm] liegt. Allerdings wissen wir noch nicht ganz wie wir das zeigen können. Was meinst du genau mit dem "Trick"?
LG Michi und Leni
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> Hallo!
>
> Danke für deine Antwort. Wir haben jetzt mal
> herausgefunden, dass der Grenzwert der Folge bei 0,5 + 0,5
> * [mm]\wurzel{5}[/mm] liegt. Allerdings wissen wir noch nicht ganz
> wie wir das zeigen können.
Na, Ihr seid lustig!
Wie habt Ihr ihn denn herausgefunden? Vielleicht mit dem "Trick"?
Man weiß doch nun, daß [mm] a_n [/mm] gegen einen Grenzwert G konvergiert.
Da bleibt [mm] \wurzel{a_n+1} [/mm] nicht anderes übrig, als gegen [mm] \wurzel{G+1} [/mm] zu konvergieren.
Und gegen wen konvergiert [mm] a_{n+1}? [/mm] Gegen G natürlich.
Nun ist [mm] a_{n+1}=\wurzel{a_n+1},
[/mm]
also lim [mm] a_{n+1}= [/mm] lim [mm] \wurzel{a_n+1},
[/mm]
und daraus errechnet man Euren Grenzwert.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:14 Sa 25.11.2006 | | Autor: | Leni-H |
Hi Angela!
Danke nochmal. Wir haben die Aufgabe jetzt gelöst. Den Grenzwert hatten wir von einem Skript aus dem Internet, bei dem es um die gleiche Folge ging. Also haben wir ihn nicht ganz alleine herausgefunden 
Liebe Grüße
Michi und Leni
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