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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:40 Mo 29.11.2004 | | Autor: | beauty |
Hey!
Muss folgende Aufgaben auf Konvergenz untersuchen:
[mm] 1.)a_n= [/mm] (n * n-te Wurzel aus n)^-1
2.) [mm] a_n= [/mm] n! [mm] (3/n)^n
[/mm]
3.) [mm] a_n =(a+1/n)^n [/mm] mit a<1
Ich weiß nicht wie ich diese Aufgaben mit den Konvergenzkriterien untersuchen soll und wie ich dabei vorgehe .
Kann mir jemand das erklären?
Danke
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Hi!
Welche Konvergenzkriterien hattet ihr denn?
Verscuh es doch erstmal mit dem Quotientenkriterium. Da ich leider auch gleich zur VL muss, kann ich das nicht genau durchrechnen, aber Du musst
den Betrag von [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] ausrechnen, das heißt du setzt eein n+1 für jedes n und teilst durcheinander(kürzen nicht vergessen).
IM Endeffekt sollte ein fester Wert q kleiner 1 herauskommen, damit die Reihe konvergent ist.
Vieleicht hilft dir das ja. Sonst muss ich das später noch probieren, wenn dir keiner hilft.
> Hey!
> Muss folgende Aufgaben auf Konvergenz untersuchen:
>
> [mm]1.)a_n=[/mm] (n * n-te Wurzel aus n)^-1
>
> 2.) [mm]a_n=[/mm] n! [mm](3/n)^n
[/mm]
>
> 3.) [mm]a_n =(a+1/n)^n[/mm] mit a<1
>
> Ich weiß nicht wie ich diese Aufgaben mit den
> Konvergenzkriterien untersuchen soll und wie ich dabei
> vorgehe .
> Kann mir jemand das erklären?
> Danke
>
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:19 So 05.12.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo beauty,
> Muss folgende Aufgaben auf Konvergenz untersuchen:
>
> [mm]1.)a_n=[/mm] (n * n-te Wurzel aus n)^-1
>
> 2.) [mm]a_n=[/mm] n! [mm](3/n)^n
[/mm]
>
> 3.) [mm]a_n =(a+1/n)^n[/mm] mit a<1
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> Ich weiß nicht wie ich diese Aufgaben mit den
> Konvergenzkriterien untersuchen soll und wie ich dabei
> vorgehe .
> Kann mir jemand das erklären?
Da gibt es natürlich kein Standardweg, du mußt durch Üben selbst versuchen, einen Überblick über mögliche Kriterien zu erhalten.
[mm] $a_n=\left(n*\wurzel[n]{n}\right)^{-1}=\bruch{1}{n*n^{1/n}}$
[/mm]
Diese Folge kann man ganz einfach "einschachteln" zwischen der Folge [mm] $(0)_{n\in\IN}$ [/mm] und der Folge [mm] $\left(\bruch{1}{n}\right)_{n\in\IN}$.
[/mm]
Es gilt nämlich für jedes n>2:
[mm] $0\le \bruch{1}{n*n^{1/n}}\le \bruch{1}{n}$
[/mm]
Dieselben Ungleichungen gelten deswegen auch für Grenzwerte
[mm] $\limes_{n\to\infty} 0\le \limes_{n\to\infty} \bruch{1}{n*n^{1/n}}\le \limes_{n\to\infty} \bruch{1}{n}$
[/mm]
Die Grenzwerte links und rechts sind 0, also gilt [mm] $\limes_{n\to\infty} \bruch{1}{n*n^{1/n}}=0$.
[/mm]
[mm] $a_n=n!*\left(\bruch{3}{n}\right)^n$
[/mm]
Hier habe ich noch keine Idee. Die Folge ist aber divergent.
[mm] $a_n=\left(a+\bruch{1}{n}\right)^n$ [/mm] mit $a<1$
Für [mm] $0\le [/mm] a$ ist die Folge monoton fallend ab einem bestimmten Index (da [mm] $a+\bruch{1}{n}<1$ [/mm] ab einem Index [mm] $n_0$).
[/mm]
Ausserdem ist sie nach unten beschränkt (0 ist eine untere Schranke), also haben wir in diesem Fall die Konvergenz.
Bleibt noch, die Fälle $0>a$ zu untersuchen.
Viele Grüße,
Marc
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