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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:51 Fr 10.12.2004 | | Autor: | Edi1982 |
Hallo ihr Mathematiker.
Ich habe da bis Morgen eine Aufgabe zu erledigen:
Untersuchen Sie folgende Reihe auf Konvergenz:
[mm] \summe_{n=2}^{\infty}\bruch{n}{2^{n}}.
[/mm]
Ich habe mir dazu Gedanken gemacht und versuch es mit dem Quotientenkriterium zu lösen:
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] =
[mm] \bruch{\bruch{n+1}{2^{n+1}}}{\bruch{n}{2^{n}}} [/mm] = [mm] \bruch{2^{n}}{2^{n+1}}*\bruch{n+1}{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(1+\bruch{1}{n}) \le \bruch{2}{2} [/mm] = 1.
Es heißt ja , wenn q kleine 1 dann konvergent
wenn q größer 1 dann divergent.
In meinem Fall ist es aber für mich unklar, ob q kleiner oder gleich ist.
Und was ist eigentlich, wenn q = 1
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:45 Fr 10.12.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Edi1982,
> Ich habe da bis Morgen eine Aufgabe zu erledigen:
>
> Untersuchen Sie folgende Reihe auf Konvergenz:
>
> [mm]\summe_{n=2}^{\infty}\bruch{n}{2^{n}}.
[/mm]
>
> Ich habe mir dazu Gedanken gemacht und versuch es mit dem
> Quotientenkriterium zu lösen:
>
> [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}[/mm] =
>
>
> [mm]\bruch{\bruch{n+1}{2^{n+1}}}{\bruch{n}{2^{n}}}[/mm] =
> [mm]\bruch{2^{n}}{2^{n+1}}*\bruch{n+1}{n}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2}(1+\bruch{1}{n}) \le \bruch{2}{2}[/mm] = 1.
>
> Es heißt ja , wenn q kleine 1 dann konvergent
> wenn q größer 1 dann divergent.
>
> In meinem Fall ist es aber für mich unklar, ob q kleiner
> oder gleich ist.
Hier kannst du doch q=3/4 wählen und [mm] $n_0=2$ [/mm] (ich denke, dass du [mm] $n_0$ [/mm] wählen kannst, hattest du übersehen):
[mm] $\bruch{1}{2}(1+\bruch{1}{n}) \le \bruch{3}{4}<1$ [/mm] für alle [mm] $n\ge n_0$
[/mm]
>
> Und was ist eigentlich, wenn q = 1
q muss ja aus dem Interval (0,1) gewählt werden, von daher stellt sich die Frage eigentlich nicht 
Wenn ich sie aber anders formuliere und schreibe: Es gibt [mm] $n_0$, [/mm] so dass
[mm] $\left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right|\ge [/mm] 1$ für alle [mm] $n\ge n_0$, [/mm] dann ist die Reihe divergent.
(Das ist ja für diesen Fall auch ganz klar, da die Folge [mm] a_n [/mm] ja keine Nullfolge sein kann.)
Viele Grüße,
Marc
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