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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:31 So 11.11.2007 | | Autor: | Babsi78 |
| Aufgabe | [mm] \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{N} \frac{1}{k(k+1)}=1 [/mm]
[mm] \lim_{n \to \infty} \frac{n^k}{n!}=0, k\in\IN\ fest [/mm]
[mm] \lim_{n \to \infty} \frac{a^n}{n!}=0, a \ge 0\ fest [/mm]
[mm] \lim_{n \to \infty} \wurzel{n} (\wurzel{n+1} - \wurzel{n}) =\frac{1}{2} [/mm] |
Hallo!
Muss für meine Ana-Übung diese vier Sachen beweisen. Leider fehlt mir irgendwie total der Ansatz:-( Habe mir überlegt, dass die erste Summe ja gleich [mm] frac{n}{n+1} [/mm] ist, komme aber damit nicht voran!
Kann mir vielleicht jemand einen Tipp geben??? Vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo...
Ich weiß nicht, inwieweit dir Konvergenzkriterien ein Begriff sind...
Aber mal ein paar Hinweise
[mm] \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{N} \br{1}{k(k+1)}=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{N} [/mm] ( [mm] \br{1}{k}-\br{1}{k+1})=...
[/mm]
Jetzt mache bei dem zweiten Bruch eine Indexverschiebung und lasse ihn von k=0 starten...dann hast du es schon fast dastehen...einen summand rausziehen und schon wars das...
beim 2. Quotientenkriterium, beim 3. Wurzelkriterium
beim letzten erweitere mal...
[mm] \wurzel{n}*(\wurzel{n-1}-\wurzel{n})=\wurzel{n}*(\wurzel{n-1}-\wurzel{n})*\br{\wurzel{n-1}+\wurzel{n}}{\wurzel{n-1}+\wurzel{n}}=....
[/mm]
viel erfolg dabei....
Tschüß sagt Röby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:00 So 11.11.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
Hallo bei der der erten Aufgabe habe ich mir das so aufgeschrieben....
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k(k+1)} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{\infty} (\bruch{1}{k} [/mm] - [mm] \bruch{1}{k+1}) [/mm] das wäre dann
1 - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3} [/mm] +....+ [mm] \bruch{1}{n} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] = 1 - [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] Dann wissen wir ja das [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] gegen 0 konvergiert und wir haben die 1 als grenzwert.. Zu den anderen Aufgaben weiss ich nicht so genau was du meinst wir hatten noch kein Qotientenkriterium oder Wurzelkriterium. das letzte was wir aufgeschrieben haben war das 1/n eine Nullfolge ist.... Wie kann man denn jetzt konkret beweisen ohne Qotientenkriterien anzuwenden oder ähnliches???
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:52 So 11.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tyskie!
> Dann wissen wir ja das [mm]\bruch{1}{n+1}[/mm] gegen
> 0 konvergiert und wir haben die 1 als grenzwert..
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Zu den anderen Aufgaben weiss ich nicht so genau was du meinst wir
> hatten noch kein Qotientenkriterium oder Wurzelkriterium.
Zerlege die Brüche wie folgt und wende die Grenzwertsätze an. Hier mal exemplarisch an Aufgabe c.) ...
[mm] $$\frac{a^n}{n!} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\overbrace{a*a*a*...*a}^{= \ n \ \text{Faktoren}}}{\underbrace{1*2*3*...*n}_{= \ n \ \text{Faktoren}}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{a}{1}*\bruch{a}{2}*\bruch{a}{3}*...*\bruch{a}{n}$$
[/mm]
Nun Grenzwertbetrachtung und darauf auf den letzten Bruch achten ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:12 So 11.11.2007 | | Autor: | BenK |
Guten Abend!
Könnte man denn nicht einfach auch so vorgehen, dass man aus [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{a^n}{n!}=0 [/mm] <=> [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (a^n [/mm] * [mm] \bruch{1}{n!})=0 [/mm] macht, wobei dann [mm] \bruch{1}{n!} [/mm] immer gegen null geht? Weswegen dann das Produkt null wird und somit auch der Grenzwert feststeht?
Viele Grüße, Ben.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:17 So 11.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ben,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Das geht so einfach leider nicht, da im Term [mm] $a^n$ [/mm] die Folgenvariable $n_$ steckt und der Ausdruck [mm] $a^n$ [/mm] für [mm] $n\rightarrow\infty$ [/mm] gegen [mm] $\infty$ [/mm] strebt.
Und das ergibt mit [mm] $a^n*\bruch{1}{n!} [/mm] \ = \ [mm] \infty*0$ [/mm] einen unbestimmten Ausdruck, den man dann doch etwas genauer untersuchen muss.
Gruß
Loddar
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