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Konvergenz: Tipp, Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:42 Di 06.05.2008
Autor: Morgenroth

Aufgabe
Sind diese Reihen konvergent?

a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] 1/n³

b) [mm] \summe_{k=0}^{\infty} [/mm] (k!)² / (2k)!

a) Mit dem Quotientenkrieterium komme ich auf:
a(n+1) / a(n) = n³ / (n+1)³ --> 1 , d. h. es gibt kein q [mm] \le [/mm] 1  < 0.
Jetzt muss ich wohl das Majoranten, Minorantenkriterium verwenden, versteh das aber leider nicht.

b) Quotienten-Kriterium:
a(n+1) / a(n) =  [ ((k+1)!)² * (2k)! ] / [ (2k+2)! * (k!)² ]
Und da komm ich nicht weiter.

        
Bezug
Konvergenz: zu Aufgabe (b)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:44 Di 06.05.2008
Autor: Loddar

Hallo Morgenroth!


Verwende nun eine Eigenschaft der Fakultät:
$$(k+1)! \ = \ k!*(k+1)$$
$$(2k+2)! \ = \ (2k)!*(2k+1)*(2k+2)$$

Gruß
Loddar


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Konvergenz: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:05 Di 06.05.2008
Autor: Morgenroth

Danke.
Durch Ersetzen habe ich ja dann:

k! * (k+1) * k! * (k+1) * (2k)!   /
(2k!) * (2k+1) * (2k+2) * k! * k!

= (k² + 2k + 1) * (2k)!   /
(4k² + 4k + 2) * (2k!)

Und wie krieg ich nun die restlichen Fakultäten weg?

Bei der a) bräuchte ich bitte auch noch Hilfe.
Ich weiß, die Summe (1/k) konvergiert. Kann ich das dabei irgendwie anwenden?

Bezug
                        
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Konvergenz: Korrektur
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:41 Mi 07.05.2008
Autor: Loddar

Hallo Morgenroth!


Du musst in Zähler und Nenner jeweils [mm] $(2k)\red{!}$ [/mm] schreiben, dann kürzt sich dieser Term weg.


Gruß
Loddar


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Konvergenz: zu Aufgabe (a)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:38 Mi 07.05.2008
Autor: Loddar

Hallo Morgenroth!


Zunächst einmal: [mm] $\summe\bruch{1}{k}$ [/mm] ist nicht konvergent!

Aber Du kannst hier zum Beispiel gegen die konvergierende Reihe [mm] $\summe\bruch{1}{k^{\red{2}}}$ [/mm] abschätzen.


Gruß
Loddar


Bezug
                
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Konvergenz: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:20 Mi 07.05.2008
Autor: Morgenroth

Warum kann ich (2k!) einfach mit (2k)! gleichsetzten, das ist doch nicht das gleiche, odeR?

Bezug
                        
Bezug
Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:35 Mi 07.05.2008
Autor: angela.h.b.


> Warum kann ich (2k!) einfach mit (2k)! gleichsetzten, das
> ist doch nicht das gleiche, odeR?

Hallo,

nein, gleich ist das nicht.

Loddar wollte Dir sagen, daß Du

(2k+2)! verkehrt zu

>>> (2k!) * (2k+1) * (2k+2)

umgeformt hast.

Wenn Du das richtig machst, hast Du kein Problem mehr mit Fakultäten.

Es ist doch  [mm] \underbrace{(2k+2)!=1*2*...*(???)}_{= ? }*(2k+1) [/mm] * (2k+2)

Gruß v. Angela


Bezug
                                
Bezug
Konvergenz: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:56 Mi 07.05.2008
Autor: Morgenroth

Also ich habe ich:
k! * (k+1) * k! * (k+1) * (2k)!   /
(2k)! * (2k+1) * (2k+2) * k! * k!

= k² + 2k + 1   /
4k² + 4k + 2

= 1 + 2/k + 1/k²   /   4 + 4/k + 2/k²   --> konvergiert gg. 1/4 = q

0 < 1/4=q < 1, alos konvergiert die Reihe.

Ist 1/4 dann automatisch der Grenzwert dieser Reihe, oder kann man damit nur bestimmen, dass die Reihe überhuapt konvergiert?

Nochmal zu a):

b(k) = Summe 1/k² konvergiert.
Wie schreibe ich das dann auf?

a(k) = Summe 1/k²*k konvergiert dann auch, da

0<=a(k)<=b(k)

Bezug
                                        
Bezug
Konvergenz: Hinweise
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:02 Mi 07.05.2008
Autor: Loddar

Hallo Morgenroth!


> = 1 + 2/k + 1/k² /  4 + 4/k + 2/k²   --> konvergiert gg.  1/4 = q
>  
> 0 < 1/4=q < 1, alos konvergiert die Reihe.

[ok]

  

> Ist 1/4 dann automatisch der Grenzwert dieser Reihe, oder
> kann man damit nur bestimmen, dass die Reihe überhuapt
> konvergiert?

Dieser Quotient gibt nur an, ob die Reihe konvergiert. Mit dem Reihenwert hat das nichts zu tun.



> Nochmal zu a):
>  
> b(k) = Summe 1/k² konvergiert.
>  Wie schreibe ich das dann auf?
>  
> a(k) = Summe 1/k²*k konvergiert dann auch, da
>  
> 0<=a(k)<=b(k)

[ok] Kann man so machen ...


Gruß
Loddar


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