Konvergenz < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo Zusammen,
| Aufgabe | | Es sei [mm] $\IR_{+} [/mm] := [mm] \left\{x \in \IR : x \ge 0 \right\}$ [/mm] und für $n [mm] \in \IN$ [/mm] sei [m]f_n:\IR_{+} \to \IR[/m] definiert durch [mm] $f_n\left(x\right) [/mm] = [mm] \tfrac{x}{1+nx}$. [/mm] Untersuchen Sie die Folge [mm] $\left(f_n\right)$ [/mm] für $n [mm] \to \infty$ [/mm] auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz. |
punktweise Konvergenz:
Zunächst einmal habe ich folgende Definition dazu gefunden:
Die Folge [mm] $\left(f_n\right)$ [/mm] konvergiert punktweise gegen $f$, wenn [m]\forall x \in \IR_{+} \forall \epsilon \in \IR_{+}^{\star}\;\exists N \in \IR_{+} \forall n \ge N:\left|f_n\left(x\right) - f\left(x\right)\right| < \epsilon[/m].
Also habe ich versucht ein solches [mm] $N\!$ [/mm] zu finden:
[m]\begin{gathered}
\left| {f_n \left( x \right) - f\left( x \right)} \right| = \left| {\frac{x}
{{1 + nx}} - \frac{x}
{{1 + x}}} \right| = \left| {\frac{{\left( {1 + x} \right)x - \left( {1 + nx} \right)x}}
{{\left( {1 + nx} \right)\left( {1 + x} \right)}}} \right| = \left| {\frac{{x\left( {x - nx} \right)}}
{{\left( {1 + nx} \right)\left( {1 + x} \right)}}} \right| = \left| {\frac{{x^2 \left( {1 - n} \right)}}
{{\left( {1 + nx} \right)\left( {1 + x} \right)}}} \right| = \left| {\frac{{x^2 }}
{{1 + x}}} \right|\left| {\frac{{1 - n}}
{{1 + nx}}} \right| < \varepsilon \hfill \\
\Rightarrow \left| {\frac{{1 - n}}
{{1 + nx}}} \right| < \frac{{\varepsilon \left| {1 + x} \right|}}
{{x^2 }} = :N \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Habe ich das [mm] $N\!$ [/mm] damit gefunden? Im Moment bin ich mir da nicht sicher, weil ich im linken Term der Ungleichung im Nenner [mm] $x\!$ [/mm] stehen habe. Wie soll ich jetzt hier weiter vorgehen, und wie läuft das mit der gleichmäßigen Konvergenz? Die Definition dazu ist ja fast genauso wie die Obige. Allerdings ist dort das [mm] $N\!$ [/mm] eine Stelle nach links gerutscht und hängt damit nur noch vom [mm] $\epsilon$ [/mm] ab (das [mm] $x\!$ [/mm] rutscht in der Definition nach rechts). Aber was ändert das an dem Ansatz?
Vielen Dank!
Viele Grüße
Karl
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:32 Do 05.05.2005 | | Autor: | SEcki |
Hallo,
> Es sei [mm]\IR_{+} := \left\{x \in \IR : x \ge 0 \right\}[/mm] und
> für [mm]n \in \IN[/mm] sei [m]f_n:\IR_{+} \to \IR[/m] definiert durch
>
> [mm]f_n\left(x\right) = \bruch{x}{1+nx}[/mm].
> Untersuchen Sie die Folge [mm]\left(f_n\right)[/mm] für [mm]n \to \infty[/mm]
> auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz.
> Die Folge [mm]\left(f_n\right)[/mm] konvergiert punktweise gegen [mm]f[/mm],
> wenn [m]\forall x \in \IR_{+} \forall \epsilon \in \IR_{+}^{\star}\;\exists N \in \IR_{+} \forall n \ge N:\left|f_n\left(x\right) - f\left(x\right)\right| < \epsilon[/m].
Ahem. und was ist dein f? Punktwiese Konvergenz heisst nichts anderes, als für jedes fixierte x den Grenzwert der [mm]f_n(x)[/mm] zu betrachten - und wenn die überall konvergieren, tja, dann nenntman das überall punktweise konvergent. Wohin die punktweise konvergieren ist auch klar, oder?
> Wie soll ich jetzt hier weiter vorgehen, und wie läuft das
> mit der gleichmäßigen Konvergenz? Die Definition dazu ist
> ja fast genauso wie die Obige.
"Fast". Also mann kann auch sehr unterschiedliche angeben - vor allem bewirkt gleichmäßige Konvergenz gleich viel schönere Eigenschaften. Wie willst du denn glm. Konv. definieren? Ich würde erstmal für jedes x punktweise den Limes bilden, die Funktion dann f nennen, und schauen, ob [mm]||f-f_n||_\infty \to 0, n\to \infty[/mm] gilt - dann wäre die Funktion glm. konv.
HTH,
SEcki
|
|
|
| |
|
Hallo SEcki,
> Ich würde erstmal für jedes x punktweise den
> Limes bilden, die Funktion dann f nennen, und schauen, ob
> [mm]||f-f_n||_\infty \to 0, n\to \infty[/mm] gilt - dann wäre die
> Funktion glm. konv.
Das probiere ich jetzt mal aus:
Zz.: [m]\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left\| {f - f_n } \right\|_\infty = 0[/m]
Beweis:
[m]\begin{gathered}
\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left\| {f - f_n } \right\|_\infty = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {f - f_n } \right| = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{x}
{{1 + x}} - \frac{x}
{{1 + nx}}} \right| = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{\left( {1 + nx} \right)x - \left( {1 + x} \right)x}}
{{\left( {1 + x} \right)\left( {1 + nx} \right)}}} \right| \hfill \\
= \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{x\left( {1 + nx - 1 - x} \right)}}
{{\left( {1 + x} \right)\left( {1 + nx} \right)}}} \right| = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{x^2 \left( {n - 1} \right)}}
{{\left( {1 + x} \right)\left( {1 + nx} \right)}}} \right| = \underbrace {\frac{{x^2 }}
{{\left( {1 + x} \right)}}}_{ = :\xi }\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{n - 1}}
{{1 + nx}}} \right| \hfill \\
= \xi \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{n}
{{1 + nx}} - \underbrace {\frac{1}
{{1 + nx}}}_{ \to 0\,{\text{fü r}}\,n \to \infty }} \right| = \xi \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{n}
{{1 + nx}}} \right| = \xi \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{1}
{{\frac{1}
{n} + x}}} \right| = \frac{{x^2 }}
{{\left( {1 + x} \right)}}*\frac{1}
{x} = \frac{x}
{{1 + x}} = f\left( x \right) \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Aber was genau habe ich jetzt damit gezeigt? Du hast doch gesagt, daß 0 hätte rauskommen sollen?
Danke für deine Mühe!
Viele Grüße
Karl
[P.S. Wenn ich gleichmäßige Konvergenz gezeigt habe, muß ich doch punktweise Konvergenz nicht mehr nachweisen, oder? Diese ist dann schon durch das Erstere abgedeckt.]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:45 Fr 06.05.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Karl
Du hast in der Antwort davor übersehen dass f(x) NICHT [mm] f_{1}(x) [/mm] ist. sieh dir das doch mal für x=1 an.
f ist die Funktion, gegen die [mm] f_{n} [/mm] konvergiert für alle x. egal welches endliche x >=0 du nimmst, Wenn n groß genug ist, wird der Bruch beliebig klein. für x=0 ist er auch 0 also ist die Grenzfunktion f=0!
(man findet sie oft, indem man erstmal ein festes x nimmt)
Den Rest deiner Rechnungen hab ich nicht überprüft, er muß ja falsch sein, weil das ergebnis falsch ist. Vielleicht gehst du ihn selbst für ein festes x durch.
Eben hab ich deinen Beweis noch mal durchgelesen; Drüber steht :zu zeigen [mm] |f-f_{n}/->0
[/mm]
unten zeigst du, dass es gegen f(x) geht! also hast du praktisch schon gezeigt, dass [mm] f_{n}->0! [/mm] nur mußt du für kleine x sorgfältiger argumentieren und x=0 einzeln behandeln! (Du solltest wirklich N angeben so dass [mm] |f_{n}|<\varepsilon!
[/mm]
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:43 So 08.05.2005 | | Autor: | SEcki |
> Die Funktionenfolge [mm](f_n)_{n \in \IN}[/mm] ist sicherlich nicht
> gleichmäßg konvergent gegen [mm]f=0[/mm].
Doch.
> Nun gilt aber für festes [mm]n_0 \in \IN[/mm]:
>
> [mm]\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x}{1+n_0x}=1[/mm].
Nein. Wenn du mal im Nenner x rausziehst und mit dem Zähler kürzt, wird dir schnell klar, daß [mm]\frac{1}{n_0}[/mm] rasukommt.
SEcki
|
|
|
|
![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]"){kind=small}
