Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:54 Fr 23.07.2010 | | Autor: | Melda |
| Aufgabe | Es sei:
[mm] a_{1}=1 [/mm] , [mm] a_{n+1}=\bruch{3a_{n}+a}{2a_{n}+3 } [/mm] für [mm] n\ge [/mm] 2
Zeigen Sie, dass [mm] a_{n}_{n\ge1} [/mm] konvergiert und bestimmen Sie den Grenzwert. |
Hallo,
um die Konvergenz zu zeigen muss ich die Beschränktheit und die Monotonie überprüfen.
Beschränkt:
zZ: [mm] an\ge [/mm] 1
IA: n=1
[mm] a_{1}\ge [/mm] 1 bzw 1=1
IV: Für ein n [mm] \ın \IN [/mm] gilt [mm] a_{n}\ge1
[/mm]
IS: n->n+1
zZ: dann ist auch [mm] a_{n+1}\ge1
[/mm]
[mm] \gdw a_{n+1}\ge1
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{3a_{n}+4}{2a_{n}+3}\ge [/mm] 1
[mm] \gdw a_{n}\ge [/mm] -1
Vielen dank für die Hilfe im voraus.
Melda
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:03 Fr 23.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Es sei:
>
> [mm]a_{1}=1[/mm] , [mm]a_{n+1}=\bruch{3a_{n}+a}{2a_{n}+3 }[/mm] für [mm]n\ge[/mm]
Es soll wohl [mm]a_{n+1}=\bruch{3a_{n}+4}{2a_{n}+3 }[/mm] für [mm]n\ge[/mm] lauten
> 2
>
>
> Zeigen Sie, dass [mm]a_{n}_{n\ge1}[/mm] konvergiert und bestimmen
> Sie den Grenzwert.
> Hallo,
>
> um die Konvergenz zu zeigen muss ich die Beschränktheit
> und die Monotonie überprüfen.
>
> Beschränkt:
>
> zZ: [mm]an\ge[/mm] 1
>
> IA: n=1
>
> [mm]a_{1}\ge[/mm] 1 bzw 1=1
>
> IV: Für ein n [mm]\ın \IN[/mm] gilt [mm]a_{n}\ge1[/mm]
>
> IS: n->n+1
>
> zZ: dann ist auch [mm]a_{n+1}\ge1[/mm]
>
> [mm]\gdw a_{n+1}\ge1[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{3a_{n}+4}{2a_{n}+3}\ge[/mm] 1
>
> [mm]\gdw a_{n}\ge[/mm] -1
>
>
> Vielen dank für die Hilfe im voraus.
1. Ich sehe keine Frage. Wie soll nun geholfen werden ?
2. Du hast nur gezeigt, dass [mm] (a_n) [/mm] nach unten beschränkt ist. Zeige noch: [mm] (a_n) [/mm] ist nach oben beschränkt. Dazu der Tipp: zeige [mm] $a_n \le \wurzel{2}$ [/mm] für n [mm] \in \IN
[/mm]
3. Zeige : [mm] (a_n) [/mm] ist monoton wachsend (dabei hilft Dir 2.)
FRED
>
>
> Melda
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:25 Fr 23.07.2010 | | Autor: | Melda |
Hallo,
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> 1. Ich sehe keine Frage. Wie soll nun geholfen werden ?
>
> 2. Du hast nur gezeigt, dass [mm](a_n)[/mm] nach unten beschränkt
> ist. Zeige noch: [mm](a_n)[/mm] ist nach oben beschränkt. Dazu der
> Tipp: zeige [mm]a_n \le \wurzel{2}[/mm] für n [mm]\in \IN[/mm]
>
> 3. Zeige : [mm](a_n)[/mm] ist monoton wachsend (dabei hilft Dir 2.)
>
Zu 1: es tut mir leid. War mein Fehler. İch wollte nur wissen ob mein Ansatz richtig ist.
Zu 2: reicht es nicht aus zu zeigen, dass es nach unten beschraenkt ist? Und wie kommt man auf die wurzel 2? İch würde nicht auf wurzel zwei kommen, sondern es mit der 2 versuchen, weil in der Aufgabenstellung steht [mm] a_{n+1} [/mm] für [mm] n\ge [/mm] 2.
Melda
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Hallo Melda!
> Zu 2: reicht es nicht aus zu zeigen, dass es nach unten
> beschraenkt ist?
Nein. Denn wenn die Folge monoton wachsend ist, benötigst Du für die Konvergenz insbesondere eine obere Schranke.
> Und wie kommt man auf die wurzel 2? İch
> würde nicht auf wurzel zwei kommen, sondern es mit der 2
> versuchen, weil in der Aufgabenstellung steht [mm]a_{n+1}[/mm] für [mm]n\ge[/mm] 2.
Es reicht auch aus zu zeigen, dass [mm] $a_n [/mm] \ < \ 2$ . Auch damit ist eine obere Schranke bewiesen.
Die Angabe $n \ [mm] \ge [/mm] \ 2$ hat aber nichts mit irgendeiner möglichen Schranke der Folge zu tun.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:50 Fr 23.07.2010 | | Autor: | Melda |
Hallo,
ok ich habe jetzt versucht zu zeigen, dass es nach oben beschraenkt ist.
zZ: [mm] a_{n}\ge [/mm] 2
IA: n=1
[mm] a_{1}=1\ge [/mm] 2
IV: Es gibt ein [mm] n\in \IN [/mm] für das gilt [mm] a_{n}\ge [/mm] 2
IS:
[mm] \bruch{3a_n+4}{2a_n+3} \ge [/mm] 2
[mm] -a_n\ge [/mm] 2
stimmt das so?
Melda
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Hallo Melda,
> Hallo,
>
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> ok ich habe jetzt versucht zu zeigen, dass es nach oben
> beschraenkt ist.
>
> zZ: [mm]a_{n}\ge[/mm] 2
Das ist doch Unsinn!!
Es steht bereits ein paar Male hier im post.
Du musst zeigen [mm] $a_n [/mm] \ [mm] \red{\le} [/mm] \ 2$
>
> IA: n=1
>
> [mm]a_{1}=1\ge[/mm] 2
Jau, und das segnest du kommentarlos ab ohne Bauchschmerzen zu bekommen!
Glückwunsch! [mm] $1\ge [/mm] 2$, also [mm] $1\le [/mm] 0$
Das ist mir neu ...
>
> IV: Es gibt ein [mm]n\in \IN[/mm] für das gilt [mm]a_{n}\ge[/mm] 2
>
> IS:
>
> [mm]\bruch{3a_n+4}{2a_n+3} \ge[/mm] 2
>
> [mm]-a_n\ge[/mm] 2
>
>
> stimmt das so?
>
Nein, das ist totaler Unfug!
Bitte gib mal in deinem Profil deinen mathem. Background an, dann kann man die Hilfe entsprechend ansetzen...
Du musst im Induktionsschritt zeigen, dass [mm] $a_{n+1}\le [/mm] 2$ ist.
Also dass [mm] $\frac{3a_n+4}{2a_n+3}\le [/mm] 2$ ist
Den Zähler kannst du mit der IV abschätzen, für den Nenner benutze, dass [mm] $a_n$ [/mm] nach unten durch 1 beshränkt ist, das hast du ja schon gezeigt (siehe Freds Antwort oben)
> Melda
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 Fr 23.07.2010 | | Autor: | Melda |
Hi,
sry habe ausversehen die Zeichen alle falsch rum aufgeschrieben.
Auf meinem Blatt habe ich am ende
[mm] -a_{n}\le [/mm] 2 stehen.
İst es trotzdem falsch?
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Hallo nochmal,
> Hi,
>
> sry habe ausversehen die Zeichen alle falsch rum
> aufgeschrieben.
>
> Auf meinem Blatt habe ich am ende
>
> [mm]-a_{n}\le[/mm] 2 stehen.
Damit wäre [mm] $a_n\ge [/mm] -2$, was du aber mit deinem ersten post eh schon weißt (da hattest du gezeigt: [mm] $a_n\ge [/mm] 1$)
>
> İst es trotzdem falsch?
Falsch ist das nicht, aber es nützt dir überhaupt gar nix zum Nachweis der Beschränktheit nach oben.
Wie du abschätzen kannst, habe ich oben geschrieben ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 Fr 23.07.2010 | | Autor: | Melda |
Hallo nochmal,
für die Beschraenktheit habe ich jetzt:
IS: [mm] \bruch{3a_n+4}{2a_n+3}\le \bruch{3*2+4}{2*1+3}=2\le [/mm] 2
Monotonie:
zZ:
[mm] a_1\le a_2
[/mm]
IA: n=1
[mm] 1\le \bruch{3*1+4}{2*1+3}
[/mm]
[mm] \gdw 1\le [/mm] 7/5
IV: Es gibt ein [mm] n\in \IN [/mm] für das gilt [mm] a_n\le a_{n+1}
[/mm]
IS: [mm] \bruch{3a_n+4}{2a_n+3}\le {3a_{n+1}+4}{2a_{n}+3}
[/mm]
dadurch das [mm] a_n\le [/mm] 2 ist habe ich:
[mm] \gdw \bruch{3*2+4}{2*1+3} \le {3a_{n+1}+4}{2a_{n}+3}
[/mm]
[mm] \gdw 2\le {3a_{n+1}+4}{2a_{n}+3}
[/mm]
durch umformen:
[mm] \gdw a_n\le \bruch{3a_n+1}{4}+1
[/mm]
Dadurch das [mm] a_n [/mm] nach unten durch 1 beschraenkt ist müsste das stimmen oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:39 Sa 24.07.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Hallo nochmal,
>
>
> für die Beschraenktheit habe ich jetzt:
>
> IS: [mm]\bruch{3a_n+4}{2a_n+3}\le \bruch{3*2+4}{2*1+3}=2\le[/mm] 2
richtig
> Monotonie:
>
> zZ:
>
> [mm]a_1\le a_2[/mm]
>
> IA: n=1
>
> [mm]1\le \bruch{3*1+4}{2*1+3}[/mm]
>
> [mm]\gdw 1\le[/mm] 7/5
Das ist richtig, aber unnötig
>
> IV: Es gibt ein [mm]n\in \IN[/mm] für das gilt [mm]a_n\le a_{n+1}[/mm]
das ist so falsch. wenn , dann musst du schreiben es gibt ein [mm] N_0 [/mm] so dass für alle [mm] n>N_0 [/mm] gilt...
Dass das für ein n gilt ist sinnlos, für das nächste könnte es ja umgekehrt sein.
du machst ja auch gar keine Induktion,
> IS: [mm]\bruch{3a_n+4}{2a_n+3}\le {3a_{n+1}+4}{2a_{n}+3}[/mm]
Das ist nicht was du zeigen willst!
Du willst
[mm] a_n\le a_{n+1}
[/mm]
also
[mm] a_n\le \bruch{3a_n+4}{2a_n+3}
[/mm]
Das musst du zeigen wobei du weisst [mm] a_n>0
[/mm]
da kein explizites n in der Formel vorkommt, kannst du es für alle n zeigen ohne Induktion
Dein post enthält so komische Zeilen, dass ich denke es sind Tipfehler, bitte lies IMMER die Vorschau vor dem senden, auch wenn das mal ne Minute dauert.
Gruss leduart
> dadurch das [mm]a_n\le[/mm] 2 ist habe ich:
>
> [mm]\gdw \bruch{3*2+4}{2*1+3} \le {3a_{n+1}+4}{2a_{n}+3}[/mm]
>
> [mm]\gdw 2\le {3a_{n+1}+4}{2a_{n}+3}[/mm]
>
> durch umformen:
>
> [mm]\gdw a_n\le \bruch{3a_n+1}{4}+1[/mm]
>
>
> Dadurch das [mm]a_n[/mm] nach unten durch 1 beschraenkt ist müsste
> das stimmen oder?
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:37 Sa 24.07.2010 | | Autor: | Melda |
Hallo,
für den Grenzwert habe ich:
lim [mm] a_n=lim a_{n+1}=a
[/mm]
[mm] \bruch{3a+4}{2a+3}=a
[/mm]
[mm] \gdw 3a+4=2a^2+3a
[/mm]
[mm] \gdw 2=a^2
[/mm]
[mm] \gdw \pm \wurzel{2}=a
[/mm]
Da es monoton steigend ist liegt der Grenzwert bei [mm] \wurzel{2}
[/mm]
stimmt das?
Danke für die Hilfe
Melda
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Hallo Melda!
Das stimmt fast. Die Monotonie sagt nichts über den Grenzwert aus.
Aber bedenke die Schranken dieser Folge.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:40 Sa 24.07.2010 | | Autor: | melisa1 |
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