Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Warum ist eigentlich die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k} [/mm] divergent und nicht konvergent, obwohl es den Wert 0 anstrebt? |
Moin moin,
Frage ist oben.
thx a lot.
|
|
| |
|
> Warum ist eigentlich die Reihe
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k}[/mm] divergent und nicht
> konvergent, obwohl es den Wert 0 anstrebt?
> Moin moin,
>
> Frage ist oben.
Hallo,
die Antwort sollte in jedem halbwegs gescheiten Analysisbuch zu finden sein... Hast Du in solch einem Buch schonmal gelesen?
Schreib Dir die Reihe mal ausführlich auf, etwa die ersten 100 Summanden.
Teil sie in Grüppchen auf: die erste Gruppe enthält den ersten Summanden, die zweite die nachsten beiden Summanden, die dritte die folgnden 4 Summanden, dann die nächsten 8 Summanden, danch die nächsten 16 Summanden usw.
Zeige, daß jedes Grüppchen größer als 1/2 ist.
(Daß die der Reihe [mm] \summe a_n [/mm] zugrundeliegende Folge [mm] (a_n) [/mm] gegen 0 konvergiert, ist notwendig für die Konvergenz der Reihe, aber nicht hinreichend.)
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:19 Di 17.08.2010 | | Autor: | fred97 |
Weitere Möglichkeit:
Sei [mm] s_n:= 1+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}+ ...+\bruch{1}{n}$
[/mm]
Zu zeigen ist: [mm] (s_n) [/mm] ist divergent.
Es ist
[mm] $s_{2n}= s_n +\bruch{1}{n+1}+...+\bruch{1}{2n} \ge s_n +\bruch{1}{2n}+\bruch{1}{2n}+...+\bruch{1}{2n}= s_n+n*\bruch{1}{2n}=s_n+1/2$
[/mm]
Also:
(*) [mm] $s_{2n}\ge s_n+1/2$
[/mm]
jetzt nimm mal an, dass [mm] (s_n) [/mm] konvergiert, sagen wir gegen s. Was treibt dann [mm] (s_{2n}) [/mm] ?
Bekommst Du dann mit (*) einen Widerspruch ?
FRED
|
|
|
|
