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| Aufgabe 1 | | a) Zeigen Sie, dass [mm] \paralellx|-|y\paralell\le|x+y| [/mm] für alle x,y [mm] \in \IR [/mm] |
| Aufgabe 2 | b)Sei [mm] (a_{n}) [/mm] eine beliebige Folge. Zeigen Sie:
1. Konvergiert [mm] (a_{n}) [/mm] gegen [mm] \alpha \in \IR, [/mm] so konvergiert [mm] (|a_{n}|) [/mm] gegen [mm] |\alpha|
[/mm]
2.Die Umkehrung gilt nicht |
Hallo ihr lieben ich habe heute mein Übungsblatt zu Analysis bekommen und unser neues thema ist Konvergenz und Folgen und ich habe das thema leider überhaupt nicht verstanden und unser tutorium ist auch ausgefallen so das ich keine möglichkeit hatte fragen daz zu stellen. Ich hoffe sehr ihr könnt mir weiter helfen.
Meine Ansätze:
Zu a muss ich das mit induktion machen, wenn ja wie löst man denn den doppelten betrag??
zu b [mm] \text{Ein Folge}\ (a_n)\ \text{heißt konvergent, wenn es eine Zahl}\ [/mm] a [mm] \in \mathbb{C} \text{mit folgender Eigenschaft gibt: Zu jedem}\ \varepsilon [/mm] > 0\ [mm] \text{existiert ein}\ N(\varepsilon) \in \mathbb{N}\ \text{so, dass}\ |a_n [/mm] - a| < [mm] \varepsilon\ \text{für alle}\ [/mm] n > [mm] N(\varepsilon) [/mm] also das weiss ich das ich darauf achten muss aber ich habe keinen plan wie ich vorgehen muss...
Vielen lieben dank schon mal im voraus...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:49 Fr 12.11.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> a) Zeigen Sie, dass [mm]\paralellx|-|y\paralell\le|x+y|[/mm] für
> alle x,y [mm]\in \IR[/mm]
Leserlich sieht das so aus (klicke auch ruhig mal auf den Quelltext oder die Formel):
[mm]\parallel x |-|y \parallel \le|x+y|[/mm] für alle x,y [mm]\in \IR\,,[/mm]
formal logischer dann so:
[mm] $$|\;\;|x|\;-\;|y|\;\;| \le [/mm] |x+y|$$
> b)Sei [mm](a_{n})[/mm] eine beliebige Folge.
> Zeigen Sie:
>
> 1. Konvergiert [mm](a_{n})[/mm] gegen [mm]\alpha \in \IR,[/mm] so konvergiert
> [mm](|a_{n}|)[/mm] gegen [mm]|\alpha|[/mm]
>
> 2.Die Umkehrung gilt nicht
> Hallo ihr lieben ich habe heute mein Übungsblatt zu
> Analysis bekommen und unser neues thema ist Konvergenz und
> Folgen und ich habe das thema leider überhaupt nicht
> verstanden und unser tutorium ist auch ausgefallen so das
> ich keine möglichkeit hatte fragen daz zu stellen. Ich
> hoffe sehr ihr könnt mir weiter helfen.
>
> Meine Ansätze:
> Zu a muss ich das mit induktion machen, wenn ja wie löst
> man denn den doppelten betrag??
Induktion ist hier (jedenfalls nicht ohne Zusatzüberlegungen) unbrauchbar, alleine schon, weil [mm] $\IR$ [/mm] nicht abzählbar ist. Das ganze folgt aus der Dreiecksungleichung, denn beachte:
Wenn Du $|r| [mm] \le [/mm] s$ zeigen sollst, so hast Du zu zeigen, dass
sowohl
$$r [mm] \le [/mm] s$$
als auch
$$-s [mm] \le [/mm] r$$
gelten. Oben heißt das:
Um $||x|-|y|| [mm] \le [/mm] |x+y|$ (vielleicht steht rechterhand auch [mm] $\red{-y}$ [/mm] anstatt $+y$) einzusehen, hast Du zu zeigen:
1.)
$$|x|-|y| [mm] \le [/mm] |x+y|$$
(Tipp: folgt aus $|x|=|x+y+(-y)|$ und dann Dreiecksungleichung!)
2.)
$$-|x+y| [mm] \le [/mm] |x|-|y|$$
(Tipp: wenn 1.) bewiesen ist, dann folgt 2.) zum Bsp. durch Vertauschen der Rollen von [mm] $x\,$ [/mm] und [mm] $y\,$!)
[/mm]
> zu b [mm]\text{Ein Folge}\ (a_n)\ \text{heißt konvergent, wenn es eine Zahl}\[/mm]
> a [mm]\in \mathbb{C} \text{mit folgender Eigenschaft gibt: Zu jedem}\ \varepsilon[/mm]
> > 0\ [mm]\text{existiert ein}\ N(\varepsilon) \in \mathbb{N}\ \text{so, dass}\ |a_n[/mm]
> - a| < [mm]\varepsilon\ \text{für alle}\[/mm] n > [mm]N(\varepsilon)[/mm]
> also das weiss ich das ich darauf achten muss aber ich habe
> keinen plan wie ich vorgehen muss...
>
> Vielen lieben dank schon mal im voraus...
Zur Aufgabe mit der Folge: Ich gebe Dir eine Kurzfassung, und das Wesentliche ist eigentlich, dass man das Ergebnis aus a) (eigentlich, zumindest in der hier stehenden Fassung: wenn man dort [mm] $y\,$ [/mm] durch [mm] $-y\,$ [/mm] ersetzt:)
$$||x|-|y|| [mm] \le [/mm] |x-y|$$
benutzt:
Es sei [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ beliebig, aber fest. Sei [mm] $N:=N(\varepsilon)$ [/mm] so, dass für alle $n > N$ nun [mm] $|a_n-a| [/mm] < [mm] \varepsilon\,.$ [/mm] (Bis dato wird nur die Definition der Konvergenz von [mm] $(a_n)$ [/mm] gegen [mm] $a\,,$ [/mm] also die Voraussetzung, benutzt).
Für alle $n > N$ folgt dann aber
[mm] $$(\star)||a_n|-|a|| \le |a_n-a|\,.$$
[/mm]
(Warum?)
Und das rechtsstehende in [mm] $(\star)$ [/mm] ist nun kleiner als was? Und was bedeutet das für den linksstehenden Term in [mm] $(\star)$?
[/mm]
Ergänzung: Kleiner Mangel: So zeigen wir das ganze nur für reelle Folgen. Aber zum einen kann man die Ungleichung
[mm] $$|\;\;|x|\;-\;|y|\;\;| \le [/mm] |x-y|$$
(oder rechterhand auch mit [mm] $+y\,$)
[/mm]
auch genauso für komplexe $x,y [mm] \in \IC$ [/mm] beweisen, zum anderen ist es auch möglich zu zeigen, dass eine komplexe Folge genau dann gegen [mm] $a=\text{Re }a+i*\;\text{Im }a$ [/mm] konvergiert, wenn die "Realteilfolge" gegen den Realteil von [mm] $a\,$ [/mm] und die Imaginärteilfolge gegen den Imaginärteil von [mm] $a\,$ [/mm] konvergiert. Und das sind dann reelle Folgen (mit einem reellen Grenzwert).
Beste Grüße,
Marcel
P.S.:
Wenn Dir der Beweis nun gelingt: Ja, er ist wirklich eigentlich "so einfach". Aber das ist auch ein wenig Übungs- und Erfahrungssache, also auch, wenn Du erstmal dran scheiterst: Nicht verunsichern lassen, einfach weitermachen!
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:40 Sa 13.11.2010 | | Autor: | Pia90 |
Hallo zusammen,
bei mir ist zurzeit ebenfalls das Thema Konvergenz aktuell, doch auch mir fehlt noch ein wenig der Überblick... Ich habe nun mal versucht hier die Aufgabe a) zu zeigen, doch irgendwie schaffe ich trotz tipp nicht mal einen ansatz...
ich müsste ja von ||x|-|y|| [mm] \le [/mm] |x+y| ausgehen... Muss ich da jetzt erstmal Fallunterscheidung machen? Weil es macht ja einen unterschied, ob x<y oder x>y, ob x+y > oder <0 ist etc...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:13 Sa 13.11.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
> ich müsste ja von ||x|-|y|| [mm]\le[/mm] |x+y| ausgehen
Das ist zu zeigen. Und wenn Du den Tipp von Marcel nimmst kommst Du auf folgendes
[mm] |x|=|x+y-y|\le|x+y|+|y| [/mm] also [mm] |x|-|y|\le|x+y| [/mm] und
[mm] |y|=|y+x-x|\le|x+y|+|x| [/mm] also [mm] -(|x|-|y|]\le|x+y| [/mm] daraus folgt
[mm] ||x|-|y||\le|x+y|
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:47 Sa 13.11.2010 | | Autor: | Pia90 |
So ist das also gemeint... Danke! Das hat mir sehr geholfen! Irgendwie hätte ich nie gedacht, dass das im Grunde so "einfach" und so schnell gezeigt ist... Ich muss vermutlich noch sehr viel Erfahrung sammeln...
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Vielen vielen Dank ullim, das hätte ich nicht gedacht das es so plausibel ist .... Sorry, dass ich mich jetzt erst wieder melde, aber mein Internet spinnt ein wenig ;).....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:24 Sa 13.11.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
> b)Sei [mm](a_{n})[/mm] eine beliebige Folge.
> Zeigen Sie:
>
> 1. Konvergiert [mm](a_{n})[/mm] gegen [mm]\alpha \in \IR,[/mm] so konvergiert
> [mm](|a_{n}|)[/mm] gegen [mm]|\alpha|[/mm]
>
> 2.Die Umkehrung gilt nicht
Zu zeigen ist
Aus [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=\alpha \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}|a_n|=|\alpha| [/mm] D.h. es ist zu zeigen, das gilt
[mm] \forall \epsilon>0 {\quad \exists n_0} [/mm] s.d. [mm] \forall n>n_0 [/mm] gilt [mm] ||a_n|-|\alpha||<\epsilon
[/mm]
Weil [mm] ||a_n|-|\alpha||\le |a_n-\alpha| [/mm] gilt (s. modifizierten Beweis von Aufgabe (a)) folgt aus der Konvergenz von [mm] a_n [/mm] die gewünschte Abschätzung
Als Gegenbeispiel nehme [mm] a_n=(-1)^n
[/mm]
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Ok , ich hab es noch mal versucht und meine Lösung sieht so aus:
b) Z.z. ist
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=\alpha \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}|a_n|=|\alpha| [/mm]
es ist zu zeigen das gilt:
[mm] \forall \epsilon>0 {\quad \exists n_0} [/mm] $ s.d. $ [mm] \forall n>n_0 [/mm] $ gilt $ [mm] ||a_n|-|\alpha||<\epsilon [/mm]
[mm] |a_{n}|=\epsilon-|\alpha|\le\epsilon+|\alpha| [/mm] also [mm] |a_{n}|- |\alpha| \le \epsilon [/mm] und
[mm] |\alpha|=\epsilon-|a_{n}|\le\epsilon+|a_{n}| [/mm] also [mm] -(|a_{n}|-|\alpha|]\le\epsilon [/mm] daraus folgt
[mm] ||a_{n}|-|\alpha||\le\epsilon [/mm]
Damit ist bewiesen, dass Konvergiert [mm] (a_{n}) [/mm] gegen [mm] \alpha \in \IR, [/mm] so konvergiert [mm] (|a_{n}|) [/mm] gegen [mm] |\alpha| [/mm]
Reicht das als beweis zu b).
Zur Umkehrung habe ich einen Idee. aber ich glaub der ist falsch oder ???
Also:
[mm] a_n=n,\alpha=\bruch{1}{n},a_n*\alpha=1\to1,aber (a_n)=(n) [/mm] nicht konv.
[mm] \underbrace_={n\to\infty}
[/mm]
Aber ich weiss nicht, ob das reicht und ich glaub der ist falsch oder ???
Ich danke euch sehr für eure Hilfe....
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Hallo Mathelady,
> Ok , ich hab es noch mal versucht und meine Lösung sieht
> so aus:
>
> b) Z.z. ist
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n=\alpha \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}|a_n|=|\alpha|[/mm]
>
> es ist zu zeigen das gilt:
>
> [mm]\forall \epsilon>0 {\quad \exists n_0}[/mm] [mm]s.d.[/mm] [mm]\forall n>n_0[/mm] [mm]gilt[/mm] [mm]||a_n|-|\alpha||<\epsilon[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
>
> [mm]|a_{n}|=\epsilon-|\alpha|\le\epsilon+|\alpha|[/mm] also
> [mm]|a_{n}|- |\alpha| \le \epsilon[/mm] und
>
> [mm]|\alpha|=\epsilon-|a_{n}|\le\epsilon+|a_{n}|[/mm] also
> [mm]-(|a_{n}|-|\alpha|]\le\epsilon[/mm] daraus folgt
>
>
> [mm]||a_{n}|-|\alpha||\le\epsilon[/mm]
>
>
> Damit ist bewiesen, dass Konvergiert [mm](a_{n})[/mm] gegen [mm]\alpha \in \IR,[/mm]
> so konvergiert [mm](|a_{n}|)[/mm] gegen [mm]|\alpha|[/mm]
Du hast doch oben in a) gezeigt, dass [mm]| \ |x|-|y| \ |\le |x-y|[/mm] ist [mm](\star)[/mm]
Wegen der Konvergenz von [mm]a_n[/mm] gegen [mm]\alpha[/mm] existiert zu bel. [mm]\varepsilon>0[/mm] ein [mm]n_0[/mm] mit [mm]|a_n-\alpha|<\varepsilon[/mm] für alle [mm]n\ge n_0 \ \ (\star\star)[/mm]
Nun sei [mm]\varepsilon >0[/mm] bel. gegeben. Wähle [mm]N(\varepsilon):=n_0[/mm]
Dann gilt für alle [mm]n\ge N(\varepsilon): | \ |a_n|-|\alpha| \ | \ \le \ |a_n-\alpha| [/mm] wegen [mm](\star)[/mm]
[mm]< \ \varepsilon[/mm] wegen [mm](\star\star)[/mm]
>
> Reicht das als beweis zu b).
>
> Zur Umkehrung habe ich einen Idee. aber ich glaub der ist
> falsch oder ???
>
> Also:
> [mm]a_n=n,\alpha=\bruch{1}{n},a_n*\alpha=1\to1,aber (a_n)=(n)[/mm]
> nicht konv.
> [mm]\underbrace_={n\to\infty}[/mm]
Unsinn!! Was soll das bedeuten, was du da aufgeschrieben hast. Übersetze das mal, damit ich das verstehen kann!
Ein Gegenbsp. ist dir doch oben schon gegeben worden - liest du die Antworten, die du bekommst, nich?
Dann ist das hier alles für die Katz.
So dankst du den fleißigen Antwortgebern ganz toll!!
Wähle [mm](a_n)_{n\in\IN}=\left((-1)^n\right)_{n\in\IN}[/mm]
Dann ist [mm](|a_n|)_{n\in\IN}=(1)_n[/mm], also die konstante Folge 1,1,1,1,...
Die konvergiert nat. gegen 1
Aber [mm](a_n)[/mm] selbst ist alternierend [mm]-1,1,-1,1,...[/mm], konvergiert also nicht.
Damit gilt nicht: [mm](|a_n|\rightarrow |\alpha|) \ \Rightarrow \ (a_n\rightarrow \alpha) \ \ (n\to\infty)[/mm]
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> Aber ich weiss nicht, ob das reicht und ich glaub der ist
> falsch oder ???
>
> Ich danke euch sehr für eure Hilfe....
Gruß
schachuzipus
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ok dann versuche ich das jetzt noch mal mit deinem Tipp...
Hey Schachuzipus natürlich bin ich den Helfern dankbar kannst dir nicht vorstellen wie sehr sogar, aber ich konnte mit dem gegenbeispiel nicht umgehen, also hab ich anders versucht, schade dass du das in den falschen Hals bekommen hast :(
naja ich danke dir trotzdem sehr....
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