Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:10 Di 30.11.2010 | | Autor: | StevieG |
| Aufgabe | Aufgabe:
Lösen Sie die Aufgabe mit Einschliessungskriterium:
an = [mm] 2\wurzel{n+3}-2\wurzel{n} [/mm] |
Dazu will ich die Folge [mm] \bruch{1}{n} [/mm] benutzen, da sie gegen Null konvergiert und die 0
Soweit bin ich gekommen:
0 [mm] \le 2\wurzel{n+3}-2\wurzel{n} [/mm] = [mm] \bruch{(2\wurzel{n+3}-2\wurzel{n} )(2\wurzel{n+3}+2\wurzel{n}) }{2\wurzel{n+3}+2\wurzel{n}} [/mm] =
[mm] \bruch{12 }{2\wurzel{n+3}+2\wurzel{n}} [/mm] = [mm] \bruch{12}{12(\bruch{\wurzel{n+3}}{6} + \bruch{\wurzel{n}}{6})}=
[/mm]
[mm] \bruch{1}{(\bruch{\wurzel{n+3}}{6} + \bruch{\wurzel{n}}{6})}=
[/mm]
jetzt könnte ich noch das n im Nenner ausklammern dadurch würde ich sehen das [mm] \bruch{1}{n} [/mm] * ... = 0 aber ich muss die FOlge ja mit dem Einschliessungskriterium lösen, Wär dann der nächste schritt einfach
[mm] \le \bruch{1}{n} [/mm] ?
|
|
| |
|
Hallo Stevie,
> Aufgabe:
>
> Lösen Sie die Aufgabe mit Einschliessungskriterium:
>
> an = [mm]2\wurzel{n+3}-2\wurzel{n}[/mm]
> Dazu will ich die Folge [mm]\bruch{1}{n}[/mm] benutzen, da sie
> gegen Null konvergiert und die 0
Ob das eine geschickte Wahl ist, zeigt sich doch erst gleich. Warum willst Du Dich so früh auf gerade diese Nullfolge festlegen?
> Soweit bin ich gekommen:
>
> 0 [mm]\le 2\wurzel{n+3}-2\wurzel{n}[/mm] =
> [mm]\bruch{(2\wurzel{n+3}-2\wurzel{n} )(2\wurzel{n+3}+2\wurzel{n}) }{2\wurzel{n+3}+2\wurzel{n}}[/mm]
> =
>
> [mm]\bruch{12 }{2\wurzel{n+3}+2\wurzel{n}}[/mm] =
> [mm]\bruch{12}{12(\bruch{\wurzel{n+3}}{6} + \bruch{\wurzel{n}}{6})}=[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{(\bruch{\wurzel{n+3}}{6} + \bruch{\wurzel{n}}{6})}=[/mm]
>
> jetzt könnte ich noch das n im Nenner ausklammern
oh, das könnte schwierig werden...
> dadurch
> würde ich sehen das [mm]\bruch{1}{n}[/mm] * ... = 0
...und das noch schwieriger!
> aber ich muss
> die FOlge ja mit dem Einschliessungskriterium lösen, Wär
> dann der nächste schritt einfach
>
> [mm]\le \bruch{1}{n}[/mm] ?
Das gilt dann ab irgendwo bestimmt, aber man müsste noch herausfinden ab wo, und dann noch zeigen, dass es ab da immer gilt.
Du könntest auch einfach Dein Ergebnis benutzen und eine andere Einschließung nehmen. So gilt z.B.
[mm] \bruch{3}{\wurzel{n+3}}
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:32 Di 30.11.2010 | | Autor: | StevieG |
Woher weiss ich das denn das [mm] \bruch{3}{\wurzel{n+3}}
sollte es nicht eher heissen:
[mm] \bruch{6}{\wurzel{n+3}}
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:39 Di 30.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Woher weiss ich das denn das
> [mm]\bruch{3}{\wurzel{n+3}}
>
> sollte es nicht eher heissen:
>
> [mm]\bruch{6}{\wurzel{n+3}}
Den linken Term brauchst Du gar nicht:
Es gilt:
$0 [mm] \le a_n= \bruch{12 }{2\wurzel{n+3}+2\wurzel{n}}\le \bruch{12 }{2\wurzel{n}} [/mm] = [mm] \bruch{6 }{\wurzel{n}}$
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:43 Di 30.11.2010 | | Autor: | StevieG |
ok stimmt ja jetzt sehe ich es.
kann man [mm] \bruch{6 }{\wurzel{n}} [/mm] als Folge benutzten, da allg. bekannt das sie Konvergiert gegen 0?
|
|
|
| |
|
Hallo StevieG,
> ok stimmt ja jetzt sehe ich es.
>
> kann man [mm]\bruch{6 }{\wurzel{n}}[/mm] als Folge benutzten, ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") da
> allg. bekannt das sie Konvergiert gegen 0?
Ja, das ist offensichtlich. Falls nicht: begründe es ganz kurz ...
[mm]6[/mm] ist konstant, [mm]\sqrt{n}\to\infty[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm], also ...
Gruß
schachuzipus
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:47 Di 30.11.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
> > Woher weiss ich das denn das
> > [mm]\bruch{3}{\wurzel{n+3}}
> >
> > sollte es nicht eher heissen:
> >
> > [mm]\bruch{6}{\wurzel{n+3}}
Nein, sollte es nicht. Die linke Ungleichung stimmt nicht, und die rechte ist sozusagen unnötig ungenau, auch wenn sie natürlich zum Ziel führt, wie Fred ja auch schon gesagt hat:
> Den linken Term brauchst Du gar nicht:
>
> Es gilt:
>
> [mm]0 \le a_n= \bruch{12 }{2\wurzel{n+3}+2\wurzel{n}}\le \bruch{12 }{2\wurzel{n}} = \bruch{6 }{\wurzel{n}}[/mm]
Es gilt auch [mm] 0\le a_n=\bruch{12}{2\wurzel{n+3}+2\wurzel{n}} \le\bruch{12}{2\wurzel{n}+2\wurzel{n}}=\bruch{12}{\blue{4}\wurzel{n}}=\bruch{3}{\wurzel{n}}
[/mm]
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:55 Di 30.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo nochmal,
>
> > > Woher weiss ich das denn das
> > > [mm]\bruch{3}{\wurzel{n+3}}
> > >
> > > sollte es nicht eher heissen:
> > >
> > > [mm]\bruch{6}{\wurzel{n+3}}
>
> Nein, sollte es nicht. Die linke Ungleichung stimmt nicht,
> und die rechte ist sozusagen unnötig ungenau, auch wenn
> sie natürlich zum Ziel führt, wie Fred ja auch schon
> gesagt hat:
>
> > Den linken Term brauchst Du gar nicht:
> >
> > Es gilt:
> >
> > [mm]0 \le a_n= \bruch{12 }{2\wurzel{n+3}+2\wurzel{n}}\le \bruch{12 }{2\wurzel{n}} = \bruch{6 }{\wurzel{n}}[/mm]
>
> Es gilt auch [mm]0\le a_n=\bruch{12}{2\wurzel{n+3}+2\wurzel{n}} \le\bruch{12}{2\wurzel{n}+2\wurzel{n}}=\bruch{12}{\blue{4}\wurzel{n}}=\bruch{3}{\wurzel{n}}[/mm]
Hallo reverend,
Donnerwetter ! Besser gehts nicht: wenn ich mich nicht verrechnet habe, so gilt für a>0:
[mm] a_n \le \bruch{a}{\wurzel{n}} [/mm] für jedes n
genau dann, wenn a [mm] \ge [/mm] 3 ist.
Gruß FRED
>
> Grüße
> reverend
>
|
|
|
|
