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| Aufgabe | [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{5^{2n}}{n!}
[/mm]
Soll diese Reihe auf Konvergenz Überprüfen: |
Zum Überprüfen auf Konvergenz nehme ich mir das Quoitentenkriterium:
Summe lass ich jetzt bewusst weg sondern schreibe es fertig umgeformt hin:
[mm] \bruch{\bruch{5^{2n+1}}{(1+n)!}}{\bruch{5^{2n}}{n!}}=\bruch{5^{2n+1}*n!}{(1+n)!*5^{2n}}
[/mm]
Fakultät wegkürzen:
[mm] \bruch{5^{2n+1}}{5^{2n}+5^{2n}*n}
[/mm]
Und hier hänge ich fest und komme nicht mehr weiter wie kann ich den jetzt hier den Grenzwert bestimmen? oder war das Quoitentenkriterium das Falsche?
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> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{5^{2n}}{n!}[/mm]
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> Soll diese Reihe auf Konvergenz Überprüfen:
> Zum Überprüfen auf Konvergenz nehme ich mir das
> Quoitentenkriterium:
>
> Summe lass ich jetzt bewusst weg sondern schreibe es fertig
> umgeformt hin:
>
> [mm]\bruch{\bruch{5^{2n+1}}{(1+n)!}}{\bruch{5^{2n}}{n!}}=\bruch{5^{2n+1}*n!}{(1+n)!*5^{2n}}[/mm]
Da fehlt eine Klammer: [mm] ...=\bruch{5^{2(n+1)}*n!}{(1+n)!*5^{2n}}=\bruch{5^{2n+2}*n!}{5^{2n}*(n+1)!}=\bruch{5^{2n}*5^2*n!}{5^{2n}*(n+1)!}
[/mm]
Und dann kürzt sich fast alles weg.
>
> Fakultät wegkürzen:
[mm] \bruch{n!}{(n+1)!}=\bruch{1}{n+1} [/mm] ist so in Ordnung
>
> [mm]\bruch{5^{2n+1}}{5^{2n}+5^{2n}*n}[/mm]
>
> Und hier hänge ich fest und komme nicht mehr weiter wie
> kann ich den jetzt hier den Grenzwert bestimmen? oder war
> das Quoitentenkriterium das Falsche?
Der Ansatz ist schon der richtige
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ok, sehe die Fehler :_D
und wenn ich alles Kürze bleibt am Ende das stehen:
[mm] \bruch{25}{n+1}
[/mm]
Und das Divergiert?
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Hallo PeterSteiner,
> ok, sehe die Fehler :_D
>
> und wenn ich alles Kürze bleibt am Ende das stehen:
>
> [mm]\bruch{25}{n+1}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Und das Divergiert?
Nein, was passiert bei [mm] $\frac{25}{n+1}$ [/mm] für [mm] $n\to\infty$ [/mm] ?
Und was sagt dann das Quotientenkriterium bzgl. der Konvergenz oder Divergenz der Ausgangsreihe?
Gruß
schachuzipus
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die zahl nähert sich dann immer mehr der 0 an , und q<1 also Divergenz.
Ok dann habe ich vielleicht einen Denkfehler und zwar mal angenommen ich untersuche bruch{25}{n+1} auf Konvergenz ganz normal ohne Quoitentenkriterium sondern als Floge, dann würde diese doch Divergieren oder???
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:03 Mi 28.12.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Die Folge [mm] b_{n}:=\frac{25}{n+1} [/mm] konvergiert für [mm] n\to\infty [/mm] gegen 0
Die Reihe
[mm] \sum_{k=1}^{\infty}\frac{25}{k+1} [/mm] dagegen divergiert.
Denn:
[mm] \sum_{k=1}^{\infty}\frac{25}{k+1}
[/mm]
[mm] =25\cdot\left(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k+1}\right)
[/mm]
[mm] =25\cdot\left(\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k}\right)
[/mm]
[mm] =25\cdot\left(-1\green{+1+\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k}}\right)
[/mm]
[mm] =25\cdot\left(-1+\green{\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}}\right)
[/mm]
[mm] =-25+25\cdot\left(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}\right)
[/mm]
Hinten steht nun die divergente harmonische Reihe.
Marius
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Vielen lieben Dank an alle die geholfen haben ;)
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![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]"){kind=small}
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]"){kind=small}
![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]"){kind=small}
